Esboce qualitativamente um ciclo de Carnot
(a) no plano
para um gás ideal;
(a) no plano
Passo 1
O que o enunciado pede: esboçar qualitativamente um ciclo de Carnot no plano
-
para um gás ideal.
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas no conceito de ciclo de Carnot para gás ideal):
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas no conceito de ciclo de Carnot para gás ideal):
- O ciclo de Carnot tem quatro processos reversíveis, dois isotérmicos e dois adiabáticos reversíveis (isentropias).
- Existem duas temperaturas fixas: uma alta
e uma baixa , com . - Vamos representar o volume
no eixo horizontal e a temperatura no eixo vertical.
Não vou ainda resolver nada; só listei o que é pedido e os dados importantes.
Passo 2
Entender como aparece um processo isotérmico no plano
-
.
- Definição: um processo isotérmico mantém a temperatura constante. Se a temperatura é constante e igual a
, então, no plano - , o gráfico desse processo é uma linha horizontal . - Para um gás ideal, durante uma isotérmica temos a lei
, mas no gráfico - só nos interessa que não muda. - Em um ciclo de Carnot existirão duas isotérmicas: uma em
(expansão isotérmica quente) e outra em (compressão isotérmica fria).
Exemplo concreto: a isotérmica quente será um segmento horizontal ementre dois volumes e com (expansão).
Passo 3
Entender como aparece um processo adiabático reversível (isentropia) no plano
-
para gás ideal. Vou derivar a relação que define a curva adiabática:
- Para processo adiabático reversível temos
. Pela primeira lei, . - Para gás ideal monoquímico qualquer
, onde é o número de mols e é a capacidade molar a volume constante. - Substituindo
pela equação de estado e igualando: - Dividindo por
e rearranjando: - Lembrando que
e que , obtemos . Integrando: que equivale a - Portanto, no plano
- uma adiabática reversível é dada por com (já que ), ou seja, é uma curva decrescente: quando aumenta, diminui.
Explicação das variáveis:é a temperatura, o volume, é a razão de capacidades do gás ideal, é constante da integração (depende do processo/estado).
Passo 4
Características geométricas das adiabáticas no plano
-
e como diferenciá-las das isotérmicas:
- Isotermas: linhas horizontais em
e . - Adiabatas: curvas decrescentes que ligam as extremidades das isotermas; em particular são do tipo
, isto é, curvas com inclinação negativa que se curvam (numa forma convexa para cima no sentido gráfico). - Direção física: durante uma adiabática de expansão
aumenta e diminui; durante adiabática de compressão diminui e aumenta.
Passo 5
Sequência dos quatro processos do ciclo de Carnot (tomando o ciclo operando como máquina térmica, sentido horário):
Defina quatro pontos sequenciais no plano -
:
Defina quatro pontos sequenciais no plano
- Ponto 1:
. - 1
2: isotérmica de expansão a , vai de até com . (linha horizontal em ) - 2
3: adiabática de expansão, curva decrescente que leva a com . (curva const) - 3
4: isotérmica de compressão a , vai de para com . (linha horizontal em ) - 4
1: adiabática de compressão, curva ascendente (no sentido oposto à expansão) que retorna a com (volume diminui durante compressão).
Observações sobre os volumes (ordem qualitativa): durante o ciclo os volumes seguem a sequência(crescendo) e depois (diminuindo). Não é preciso um valor numérico para esboçar.
Passo 6
Como desenhar esse esboço passo a passo (instrução prática para a prova):
- Desenhe dois eixos: eixo horizontal
(volume), eixo vertical (temperatura). - Trace duas linhas horizontais: uma mais alta
e uma mais baixa (marque ). - Escolha um ponto esquerdo sobre
e marque como ponto 1 em . Desenhe um segmento horizontal para a direita até um ponto 2 em . Esse é o ramo isotérmico quente (1→2). - A partir de 2 desenhe uma curva decrescente (adiabática) que desce até cortar a linha
em um ponto 3 (essa curva tem a forma , vai para a direita e para baixo). - Em
desenhe um segmento horizontal da direita para a esquerda até o ponto 4 (isotérmica fria 3→4). - De 4 volte à esquerda e para cima por uma curva adiabática que termine em 1 (4→1).
- Coloque setas no sentido horário: 1→2→3→4→1. Opcional: marque as equações nos trechos: isotermas
e ; adiabatas constante.
Dica para ficar bonito: faça as adiabatas suavemente curvas, conectando as extremidades das horizontais; não tente desenhar as adiabatas como retas.
Passo 7
Comentário físico útil (para entender e usar o gráfico na prova):
- Trabalho em uma isotérmica (por exemplo a quente) pode ser calculado por
O calor rejeitado na isotérmica fria é - Usando as condições adiabáticas entre 2–3 e 4–1 pode-se mostrar que
. Isso leva à eficiência clássica do ciclo de Carnot - Observação importante: a área fechada no plano
- não representa o trabalho nem o calor diretamente. O trabalho é e, usando , precisa-se integrar em função de . Em outras palavras, o trabalho está relacionado à área no plano - , não ao plano - .
Resposta
Esboço qualitativo: duas linhas horizontais em
(superior) e
(inferior);\nligue um ponto
em
horizontalmente a
em
(isotérmica quente);\nligue
por uma curva decrescente
const até
em
(adiabática de expansão);\nligue
horizontalmente a
em
(isotérmica fria);\nligue
por uma curva adiabática crescente de volta a
(adiabática de compressão);\ncoloque setas no sentido horário
.