Esboce qualitativamente um ciclo de Carnot
(a) no plano V-T para um gás ideal;

Passo 1

O que o enunciado pede: esboçar qualitativamente um ciclo de Carnot no plano V- T para um gás ideal.
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas no conceito de ciclo de Carnot para gás ideal):
  • O ciclo de Carnot tem quatro processos reversíveis, dois isotérmicos e dois adiabáticos reversíveis (isentropias).
  • Existem duas temperaturas fixas: uma alta T_H e uma baixa T_C, com T_H>T_C.
  • Vamos representar o volume V no eixo horizontal e a temperatura T no eixo vertical.
    Não vou ainda resolver nada; só listei o que é pedido e os dados importantes.

Passo 2

Entender como aparece um processo isotérmico no plano V- T.
  • Definição: um processo isotérmico mantém a temperatura constante. Se a temperatura é constante e igual a T_0, então, no plano V- T, o gráfico desse processo é uma linha horizontal T=T_0.
  • Para um gás ideal, durante uma isotérmica temos a lei P=\dfrac{nR T_0}{V}, mas no gráfico V- T só nos interessa que T não muda.
  • Em um ciclo de Carnot existirão duas isotérmicas: uma em T=T_H (expansão isotérmica quente) e outra em T=T_C (compressão isotérmica fria).
    Exemplo concreto: a isotérmica quente será um segmento horizontal em T=T_H entre dois volumes \,V_1 e \,V_2 com V_2>V_1 (expansão).

Passo 3

Entender como aparece um processo adiabático reversível (isentropia) no plano V- T para gás ideal. Vou derivar a relação que define a curva adiabática:
  • Para processo adiabático reversível temos dQ=0. Pela primeira lei, dU = -P\,dV.
  • Para gás ideal monoquímico qualquer dU = n C_V\, dT, onde n é o número de mols e C_V é a capacidade molar a volume constante.
  • Substituindo P pela equação de estado P=\dfrac{nR T}{V} e igualando: n C_V\, dT = -P\, dV = -\frac{nR T}{V}\, dV.
  • Dividindo por n C_V T e rearranjando: \frac{dT}{T} = -\frac{R}{C_V}\,\frac{dV}{V}.
  • Lembrando que \gamma=\dfrac{C_P}{C_V} e que R=C_P-C_V, obtemos \dfrac{R}{C_V}=\gamma-1. Integrando: \ln T + (\gamma-1)\ln V = \text{const}que equivale a T\,V^{\gamma-1}=\text{const}.
  • Portanto, no plano V- T uma adiabática reversível é dada por T = C\, V^{\,1-\gamma},com 1-\gamma<0 (já que \gamma>1), ou seja, é uma curva decrescente: quando V aumenta, T diminui.
    Explicação das variáveis: T é a temperatura, V o volume, \gamma=C_P/C_V é a razão de capacidades do gás ideal, C é constante da integração (depende do processo/estado).

Passo 4

Características geométricas das adiabáticas no plano V- T e como diferenciá-las das isotérmicas:
  • Isotermas: linhas horizontais em T=T_H e T=T_C.
  • Adiabatas: curvas decrescentes que ligam as extremidades das isotermas; em particular são do tipo T\propto V^{1-\gamma}, isto é, curvas com inclinação negativa que se curvam (numa forma convexa para cima no sentido gráfico).
  • Direção física: durante uma adiabática de expansão V aumenta e T diminui; durante adiabática de compressão V diminui e T aumenta.

Passo 5

Sequência dos quatro processos do ciclo de Carnot (tomando o ciclo operando como máquina térmica, sentido horário):
Defina quatro pontos sequenciais no plano V- T:
  • Ponto 1: \bigl(V_1,\,T_H\bigr).
  • 1 \to 2: isotérmica de expansão a T=T_H, vai de V_1 até V_2 com V_2>V_1. (linha horizontal em T_H)
  • 2 \to 3: adiabática de expansão, curva decrescente que leva a \bigl(V_3,\,T_C\bigr) com V_3>V_2. (curva T V^{\gamma-1}= const)
  • 3 \to 4: isotérmica de compressão a T=T_C, vai de V_3 para V_4 com V_4<V_3. (linha horizontal em T_C)
  • 4 \to 1: adiabática de compressão, curva ascendente (no sentido oposto à expansão) que retorna a \bigl(V_1,\,T_H\bigr) com V_1<V_4 (volume diminui durante compressão).
    Observações sobre os volumes (ordem qualitativa): durante o ciclo os volumes seguem a sequência V_1 \to V_2 \to V_3 (crescendo) e depois V_3 \to V_4 \to V_1 (diminuindo). Não é preciso um valor numérico para esboçar.

Passo 6

Como desenhar esse esboço passo a passo (instrução prática para a prova):
  1. Desenhe dois eixos: eixo horizontal V (volume), eixo vertical T (temperatura).
  2. Trace duas linhas horizontais: uma mais alta T=T_H e uma mais baixa T=T_C (marque T_H>T_C).
  3. Escolha um ponto esquerdo sobre T_H e marque como ponto 1 em \bigl(V_1,T_H\bigr). Desenhe um segmento horizontal para a direita até um ponto 2 em \bigl(V_2,T_H\bigr). Esse é o ramo isotérmico quente (1→2).
  4. A partir de 2 desenhe uma curva decrescente (adiabática) que desce até cortar a linha T=T_C em um ponto 3 (essa curva tem a forma T\propto V^{1-\gamma}, vai para a direita e para baixo).
  5. Em T=T_C desenhe um segmento horizontal da direita para a esquerda até o ponto 4 (isotérmica fria 3→4).
  6. De 4 volte à esquerda e para cima por uma curva adiabática que termine em 1 (4→1).
  7. Coloque setas no sentido horário: 1→2→3→4→1. Opcional: marque as equações nos trechos: isotermas T=T_H e T=T_C; adiabatas T V^{\gamma-1}= constante.
    Dica para ficar bonito: faça as adiabatas suavemente curvas, conectando as extremidades das horizontais; não tente desenhar as adiabatas como retas.

Passo 7

Comentário físico útil (para entender e usar o gráfico na prova):
  • Trabalho em uma isotérmica (por exemplo a quente) pode ser calculado por Q_H = W_{1\to2} = nR T_H \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).O calor rejeitado na isotérmica fria é Q_C = -W_{3\to4} = nR T_C \ln\!\left(\frac{V_3}{V_4}\right).
  • Usando as condições adiabáticas entre 2–3 e 4–1 pode-se mostrar que \ln\!\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)=\ln\!\left(\dfrac{V_3}{V_4}\right). Isso leva à eficiência clássica do ciclo de Carnot \eta = 1-\frac{T_C}{T_H}.
  • Observação importante: a área fechada no plano V- T não representa o trabalho nem o calor diretamente. O trabalho é \displaystyle W=\oint P\,dV e, usando P=nRT/V, precisa-se integrar P em função de V. Em outras palavras, o trabalho está relacionado à área no plano P- V, não ao plano V- T.

Resposta

Esboço qualitativo: duas linhas horizontais em T=T_H (superior) e T=T_C (inferior);\nligue um ponto 1 em (V_1,T_H) horizontalmente a 2 em (V_2,T_H) (isotérmica quente);\nligue 2 por uma curva decrescente T V^{\gamma-1}= const até 3 em (V_3,T_C) (adiabática de expansão);\nligue 3 horizontalmente a 4 em (V_4,T_C) (isotérmica fria);\nligue 4 por uma curva adiabática crescente de volta a 1 (adiabática de compressão);\ncoloque setas no sentido horário 1\to2\to3\to4\to1.

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