Q6: Calcule o autoespaço associado ao menor autovalor da matriz abaixo e então assinale qual dos seguintes vetores pode ser um autovetor deste subespaço (com ★ substituído por um valor apropriado).
\left[\begin{array}{rrr} 8 & -2 & 2 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right]
(A) \left[\begin{array}{c}2 \\\\ 6 \\\ \star\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{c}2 \\\\ 7 \\\ \star\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{c}2 \\\\ 8 \\\ \star\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{c}2 \\\\ 9 \\\ \star\end{array}\right]
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left[\begin{array}{rrr} 8 & -2 & 2 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right]
e pede duas coisas: calcular o autoespaço associado ao menor autovalor de A e então indicar qual dos vetores listados pode ser um autovetor desse autoespaço, com o símbolo \star substituído por um valor adequado. As opções são (A), (B), (C), (D) com vetores da forma \left[\begin{array}{c}2\b\\star\end{array}\right] (com b=6,7,8,9), ou (E) “Não sei”.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os autovalores de A. Uma propriedade importante e prática: se uma matriz é triangular (superior ou inferior), seus autovalores são exatamente os elementos da diagonal. Isso acontece porque o polinômio característico \det(A-\lambda I) de uma matriz triangular é o produto dos termos da diagonal (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\cdots. Aplicando aqui, os elementos da diagonal de A são 8,2,2. Logo os autovalores são
\lambda_1=8,\qquad \lambda_2=2,\qquad \lambda_3=2.
O menor autovalor (em valor numérico) é \lambda=2.

Passo 3

Agora queremos o autoespaço associado a \lambda=2. Conceito rápido: o autoespaço de um autovalor \lambda é o conjunto de vetores v (não nulos) tais que Av=\lambda v; é o núcleo (espaço nulo) da matriz A-\lambda I. Para encontrá-lo, resolvemos a equação homogênea
(A-2I)v=0.

Passo 4

Calculemos A-2I. Subtraindo 2 dos elementos da diagonal, obtemos
A-2I=\left[\begin{array}{rrr} 8-2 & -2 & 2 \\\\ 0 & 2-2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2-2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} 6 & -2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Chamando o vetor incógnita de v=\left[\begin{array}{c}x\y\z\end{array}\right], a equação (A-2I)v=0 vira o sistema linear
\begin{cases} 6x-2y+2z=0,\\[4pt] 0x+0y+1z=0,\\[4pt] 0=0. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo o sistema passo a passo:
  • Da segunda equação temos imediatamente \;z=0.)
  • Substituindo z=0 na primeira equação dá
6x-2y+2\cdot 0=0\quad\Longrightarrow\quad 6x-2y=0.
  • Isolando y,
-2y=-6x\quad\Longrightarrow\quad y=3x.
  • A terceira equação é 0=0 e não impõe mais restrição.
Portanto as soluções são todos os vetores da forma
\left[\begin{array}{c}x\y\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}x\\\ 3x\\\ 0\end{array}\right] = x\left[\begin{array}{c}1\\\ 3\\\ 0\end{array}\right],
onde x é um parâmetro livre (qualquer número real). Isso significa que o autoespaço associado a \lambda=2 é o subespaço gerado pelo vetor \left[\begin{array}{c}1\\\ 3\\\ 0\end{array}\right].

Passo 6

Interpretação prática para a prova: todo autovetor associado a \lambda=2 é múltiplo escalar de \left[\begin{array}{c}1\\\ 3\\\ 0\end{array}\right]. Em particular, para um vetor cujo primeiro componente é 2, o segundo componente deve ser 3\cdot 2=6 e o terceiro componente deve ser 0.

Passo 7

Agora verificamos as opções dadas:
  • (A) \left[\begin{array}{c}2\\\ 6\\star\end{array}\right]. Para estar no autoespaço precisamos de \star=0. Com \star=0 o vetor fica \left[\begin{array}{c}2\\\ 6\\\ 0\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{c}1\\\ 3\\\ 0\end{array}\right], ou seja, é um autovetor válido.
  • (B) \left[\begin{array}{c}2\\\ 7\\star\end{array}\right]. O segundo componente 7 não é 3\cdot 2=6, portanto nenhum valor de \star torna esse vetor múltiplo de \left[\begin{array}{c}1\\\ 3\\\ 0\end{array}\right]. Não é autovetor.
  • (C) \left[\begin{array}{c}2\\\ 8\\star\end{array}\right]. Novamente 8\neq 6, então não pode ser autovetor.
  • (D) \left[\begin{array}{c}2\\\ 9\\star\end{array}\right]. Novamente 9\neq 6, então não pode ser autovetor.

Passo 8

Conclusão: apenas a opção (A) pode ser um autovetor do autoespaço associado ao menor autovalor, com \star=0.

Resposta

(A) \left[\begin{array}{c}2\\\ 6\\\ 0\end{array}\right]

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