Q6: Calcule o autoespaço associado ao menor autovalor da matriz abaixo e então assinale qual dos seguintes vetores pode ser um autovetor deste subespaço (com ★ substituído por um valor apropriado).
e pede duas coisas: calcular o autoespaço associado ao menor autovalor de A e então indicar qual dos vetores listados pode ser um autovetor desse autoespaço, com o símbolo \star substituído por um valor adequado. As opções são (A), (B), (C), (D) com vetores da forma \left[\begin{array}{c}2\b\\star\end{array}\right] (com b=6,7,8,9), ou (E) “Não sei”.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os autovalores de A. Uma propriedade importante e prática: se uma matriz é triangular (superior ou inferior), seus autovalores são exatamente os elementos da diagonal. Isso acontece porque o polinômio característico \det(A-\lambda I) de uma matriz triangular é o produto dos termos da diagonal (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\cdots. Aplicando aqui, os elementos da diagonal de A são 8,2,2. Logo os autovalores são
O menor autovalor (em valor numérico) é \lambda=2.
Passo 3
Agora queremos o autoespaço associado a \lambda=2. Conceito rápido: o autoespaço de um autovalor \lambda é o conjunto de vetores v (não nulos) tais que Av=\lambda v; é o núcleo (espaço nulo) da matriz A-\lambda I. Para encontrá-lo, resolvemos a equação homogênea
(A-2I)v=0.
Passo 4
Calculemos A-2I. Subtraindo 2 dos elementos da diagonal, obtemos
onde x é um parâmetro livre (qualquer número real). Isso significa que o autoespaço associado a \lambda=2 é o subespaço gerado pelo vetor \left[\begin{array}{c}1\\\ 3\\\ 0\end{array}\right].
Passo 6
Interpretação prática para a prova: todo autovetor associado a \lambda=2 é múltiplo escalar de \left[\begin{array}{c}1\\\ 3\\\ 0\end{array}\right]. Em particular, para um vetor cujo primeiro componente é 2, o segundo componente deve ser 3\cdot 2=6 e o terceiro componente deve ser 0.
Passo 7
Agora verificamos as opções dadas:
(A) \left[\begin{array}{c}2\\\ 6\\star\end{array}\right]. Para estar no autoespaço precisamos de \star=0. Com \star=0 o vetor fica \left[\begin{array}{c}2\\\ 6\\\ 0\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{c}1\\\ 3\\\ 0\end{array}\right], ou seja, é um autovetor válido.
(B) \left[\begin{array}{c}2\\\ 7\\star\end{array}\right]. O segundo componente 7 não é 3\cdot 2=6, portanto nenhum valor de \star torna esse vetor múltiplo de \left[\begin{array}{c}1\\\ 3\\\ 0\end{array}\right]. Não é autovetor.
(C) \left[\begin{array}{c}2\\\ 8\\star\end{array}\right]. Novamente 8\neq 6, então não pode ser autovetor.
(D) \left[\begin{array}{c}2\\\ 9\\star\end{array}\right]. Novamente 9\neq 6, então não pode ser autovetor.
Passo 8
Conclusão: apenas a opção (A) pode ser um autovetor do autoespaço associado ao menor autovalor, com \star=0.