(Vunesp-SP) Um orfanato recebeu uma certa quantidade x de brinquedos para ser distribuída entre as crianças. Se cada criança receber três brinquedos, sobrarão 70 brinquedos para serem distribuídos; mas, para que cada criança possa receber cinco brinquedos, serão necessários mais 40 brinquedos. O número de crianças do orfanato e a quantidade x de brinquedos que o orfanato recebeu são, respectivamente:
a) 50 e 290
b) 55 e 235
c) 55 e 220
d) 60 e 250

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o número de crianças do orfanato e a quantidade total de brinquedos x que o orfanato recebeu.
Informações dadas no enunciado:
  • Se cada criança receber três brinquedos, sobrarão 70 brinquedos.
  • Se cada criança receber cinco brinquedos, serão necessários mais 40 brinquedos (ou seja, falta 40 brinquedos para isso acontecer).

Passo 2

Vamos traduzir as informações para equações. Primeiro definimos incógnitas (variáveis):
  • Seja n o número de crianças.
  • Seja x a quantidade total de brinquedos recebidos.
Explicação rápida sobre variáveis: uma variável é só um símbolo que representa um valor desconhecido que queremos descobrir. Aqui escolhemos n e x porque o problema pede exatamente esses dois valores.

Passo 3

Traduzindo a primeira informação (cada criança recebe 3 brinquedos e sobram 70) em uma equação: se há n crianças e cada uma recebe 3 brinquedos, o total distribuído é 3n. Como sobram 70, o total recebido x é a soma do distribuído com a sobra. Assim obtemos a equação
x = 3n + 70.
Comentário didático: sempre que o problema diz “sobram 70”, significa que o total recebido é maior que o usado por 70.

Passo 4

Traduzindo a segunda informação (cada criança receberia 5 brinquedos, mas faltam 40): se cada criança precisa de 5 brinquedos, o total necessário é 5n. O enunciado diz que esse total necessário é 40 a mais do que o que já têm, ou seja x + 40 = 5n. Reorganizando, obtemos
x = 5n - 40.
Comentário didático: quando o problema diz “serão necessários mais 40”, quer dizer que o que têm é 40 menor que o necessário.

Passo 5

Agora temos um sistema de duas expressões para x:
x = 3n + 70
e
x = 5n - 40.
Como ambas valem x, igualamos os lados direitos para eliminar x e achar n:
3n + 70 = 5n - 40.
Explicando cada passo da resolução dessa equação: subtraímos 3n dos dois lados para juntar os termos com n de um lado:
70 = 2n - 40.
Em seguida somamos 40 aos dois lados para isolar o termo com n:
110 = 2n.
Finalmente dividimos por 2 para obter n:
n = 55.
Passo a passo aritmético: 70 + 40 = 110, depois 110 / 2 = 55.

Passo 6

Com n = 55, calculamos x. Podemos usar qualquer uma das duas fórmulas; vamos verificar as duas para garantir consistência.
Usando x = 3n + 70:
x = 3\cdot 55 + 70 = 165 + 70 = 235.
Usando x = 5n - 40 como checagem:
x = 5\cdot 55 - 40 = 275 - 40 = 235.
As duas dão o mesmo x, logo está correto.

Passo 7

Confrontando com as alternativas do enunciado, a que corresponde a n = 55 e x = 235 é a alternativa (b).

Resposta

b) 55 e 235

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