Q7: Calcule o determinante da matriz
\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 5 & 5 & 5 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -4 & -2 & -5 \\\\ 2 & 7 & 7 & 9 \end{array}\right]
(A) -19
(B) -17
(C) -18
(D) -20
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A=\begin{bmatrix} 0 & 5 & 5 & 5 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -4 & -2 & -5 \\\\ 2 & 7 & 7 & 9 \end{bmatrix}.
Informações dadas e o que precisamos obter:
  • Temos uma matriz quadrada 4\times4.
  • Queremos \det(A).
  • As entradas da matriz são exatamente as mostradas na matriz acima.

Passo 2

Estratégia prática: simplificar a matriz por operações elementares de linha até ficar fácil calcular o determinante. Lembre que:
  • Trocar duas linhas muda o sinal do determinante (ou seja, se trocamos linhas, multiplicamos o determinante por -1).
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Primeiro, trocamos R_1 com R_2 para ter um pivô 1 no canto superior esquerdo (isso facilita eliminar abaixo). Essa troca inverte o sinal do determinante. Então definimos a nova matriz B obtida por R_1\leftrightarrow R_2:
B=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 5 & 5 & 5 \\\\ 1 & -4 & -2 & -5 \\\\ 2 & 7 & 7 & 9 \end{bmatrix}.
Relação entre determinantes: \det(B) = -\det(A).

Passo 3

Agora eliminamos as entradas abaixo do pivô na coluna 1 usando operações que não alteram o determinante:
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1,
  • R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1.
Calcule cada linha:
  • R_3 - R_1 = [1-1,\\\ -4-1,\\\ -2-1,\\\ -5-1] = [0,\\\ -5,\\\ -3,\\\ -6].
  • R_4 - 2R_1 = [2-2,\\\ 7-2,\\\ 7-2,\\\ 9-2] = [0,\\\ 5,\\\ 5,\\\ 7].
A matriz resultante C é
C=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 5 & 5 & 5 \\\\ 0 & -5 & -3 & -6 \\\\ 0 & 5 & 5 & 7 \end{bmatrix}.
As operações feitas não mudaram o determinante de B, então \det\text{(C)}=\det(B). Lembrando \det(B)=-\det(A), temos
\det\text{(C)} = -\det(A).

Passo 4

Como a primeira coluna de C é [1,0,0,0]^T, podemos expandir o determinante ao longo da primeira coluna de forma direta. Regra de expansão por cofatores: para uma matriz n\times n,
\det\text{(C)}=\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} c_{i1}\det(M_{i1}),
onde c_{i1} é o elemento na linha i, coluna 1 e M_{i1} é a matriz menor obtida eliminando linha i e coluna 1. Aqui só o termo i=1 contribui porque os demais c_{21}=c_{31}=c_{41}=0. Assim
\det\text{(C)}=1\cdot\det(M),
onde M é a submatriz 3\times3 obtida de C retirando a primeira linha e primeira coluna:
M=\begin{bmatrix} 5 & 5 & 5 \\\\ -5 & -3 & -6 \\\\ 5 & 5 & 7 \end{bmatrix}.

Passo 5

Calculamos \det(M). Para isso uso operações de linha que preservam determinante para simplificar M:
  • R_2 \leftarrow R_2 + R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calcule:
  • R_2 + R_1 = [-5+5,\\\ -3+5,\\\ -6+5] = [0,\\\ 2,\\\ -1].
  • R_3 - R_1 = [5-5,\\\ 5-5,\\\ 7-5] = [0,\\\ 0,\\\ 2].
A matriz transformada é triangular superior:
M'=\begin{bmatrix} 5 & 5 & 5 \\\\ 0 & 2 & -1 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}.
Como essas operações foram somar múltiplos de linhas, o determinante não mudou: \det(M')=\det(M).
Para uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Logo
\det(M') = 5 \cdot 2 \cdot 2 = 20.
Portanto \det(M)=20.

Passo 6

Voltando:
\det\text{(C)} = \det(M) = 20.
Mas lembramos da relação do Passo 3: \det\text{(C)} = -\det(A). Portanto
\det(A) = -\det\text{(C)} = -20.

Resposta

(D) -20

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