(U.F. Uberlândia-MG) Gumercindo decidiu dividir sua fazenda de 30 alqueires entre seus dois filhos João e José. Essa divisão seria diteramente proporcional à produção que cada filho
conseguisse em uma plantação de soja. Eles produziram juntos 1,5 tonelada de soja, sendo que José produziu 250 kg a mais que João. Como foi dividida a Fazenda?

Passo 1

O enunciado pede que a fazenda de 30 alqueires seja dividida entre João e José em proporção direta à produção de soja de cada um. Informações dadas: \n
  • Produção total conjunta: \,1,5 tonelada. \n
  • Diferença entre as produções: José produziu \,250\\ \text{kg} a mais que João. \n
  • Área total a dividir: 30 alqueires. \n
    Pergunta: Quanto cada um (João e José) recebeu de alqueires?

Passo 2

Primeiro precisamos trabalhar com as mesmas unidades de massa. O enunciado deu a produção total em toneladas e a diferença em quilogramas. Vamos converter tonelada para quilograma: \n
Uma tonelada equivale a 1000\\ \text{kg}. Portanto,
1,5\\ \text{tonelada} = 1,5 \times 1000\\ \text{kg} = 1500\\ \text{kg}.
Agora tudo está em \text{kg}, o que facilita montar a conta.

Passo 3

Vamos representar a produção de João por uma incógnita e expressar a produção de José em função dela. Defina:
x = \text{produção de João em kg}.çãã
Como José produziu 250\\ \text{kg} a mais que João, a produção de José é
x + 250.
A soma das produções é 1500\\ \text{kg}, então montamos a equação:
x + (x + 250) = 1500.

Passo 4

Resolvendo a equação para encontrar x: \n
x + x + 250 = 1500
2x + 250 = 1500
Subtraindo 250 de ambos os lados:
2x = 1500 - 250 = 1250
Dividindo por 2:
x = \frac{1250}{2} = 625.
Portanto, a produção de João é \,625\\ \text{kg}. A produção de José é
x + 250 = 625 + 250 = 875\\ \text{kg}.
Confirmação rápida: 625 + 875 = 1500\\ \text{kg}, bate com a produção total.

Passo 5

Agora aplicamos a regra de divisão proporcional: cada filho recebe uma fração dos 30 alqueires igual à fração da produção que ele representou no total. Em fórmula geral: se alguém produziu p_i e a produção total é P, então a parte de terra é
\text{parte}_i = \frac{p_i}{P} \times \text{área total}.á
Aqui P = 1500\\ \text{kg}, área total =30 alqueires.

Passo 6

Calcule a fração da produção de João:
\frac{625}{1500}.
Vamos simplificar essa fração. O máximo divisor comum é 125, pois 625=125\cdot5 e 1500=125\cdot12. Assim
\frac{625}{1500} = \frac{5}{12}.
Para José:
\frac{875}{1500} = 1 - \frac{625}{1500} = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}.
(ou simplificando 875/125=7 e 1500/125=12, dá \,7/12.)

Passo 7

Agora multiplicamos cada fração pela área total 30 alqueires. Para João:
30 \times \frac{5}{12} = \frac{30}{12}\times5 = \frac{5}{2}\times5 = \frac{25}{2} = 12,\!5.
Portanto João recebe 12,\!5 alqueires. Para José:
30 \times \frac{7}{12} = \frac{30}{12}\times7 = \frac{5}{2}\times7 = \frac{35}{2} = 17,\!5.
José recebe 17,\!5 alqueires.

Passo 8

Verificação final: 12,\!5 + 17,\!5 = 30 alqueires (soma dá a área total) e a razão entre as áreas é \frac{12,5}{17,5}=\frac{5}{7}, que coincide com a razão das produções \frac{625}{875}=\frac{5}{7}. Tudo consistente. Você conseguiu!

Resposta

João: 12,\!5 alqueires\n
José: 17,\!5 alqueires

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