Calcule os nós das autofunções de um potencial degrau na região x<0 para V0=2 E. O que acontece com estas soluções no limite E Rightarrow V0 ?

Passo 1

Beleza, o que o enunciado está pedindo? Temos um potencial degrau em que
  • Para x<0: V(x)=0
  • Para x>0: V(x)=V₀
Eles querem achar os nós (as posições x onde a função de onda vale zero) na região x<0, supondo que V₀=2E (ou seja, a energia do elétron E é metade da altura do degrau). Depois, perguntam o que acontece com essas soluções quando a gente deixa E aproximar de V₀.
Conteúdo: resolvemos a equação de Schrödinger em duas regiões, calculamos as amplitudes de reflexão e depois achamos os zeros de ψ₁(x). Vamos precisar:
  1. Solução geral da equação de Schrödinger para potencial constante.
  2. Condições de contorno no degrau (continuidade de ψ e ψ′).
  3. Cálculo de R=B/A e achar x tal que ψ₁(x)=0.

Passo 2

Escrevendo a solução para x<0 (região livre):
psi1(x)=A,e^ikx+B,e^-ikx,
onde
k=raiz2mEhbar
Para x>0, como E<V₀, a parte que “entra” no degrau é exponencial decrescente, mas a gente só precisa de R=B/A.
Impondo contorno no x=0 (continuidade de ψ e ψ′) dá a amplitude de reflexão
BA=k-ikappak+ikappa, kappa=raiz2m(V0-E)hbar
Como V₀=2E, temos V₀−E=E ⇒ κ=k, então
BA=k-i,kk+i,k=1-i1+i=-,i

Passo 3

Agora achamos os nós pela condição psi1(x)=0, ou seja
A,e^ikx+B,e^-ikx=0Longrightarrow e^2ikx=-BA
Como B/A=-i, isso vira
e^2ikx=-(-,i)=iLongrightarrow 2k x=pi2+2pi n,;ninZ
Isolando x:
xn=pi2+2pi n2k=(4n+1),pi4k
Mas note que a fase ± pode trocar n→n−1, então escrevemos de modo equivalente:
boxedxn=(4n+3),pi4k, ninZ,;xn<0

Passo 4

No limite Eto V0 (ou seja, E→2E? Ops, mais precisamente E aproximando de V₀ de baixo), temos κ→0 e daí
BAtok-0k+0=1
Então a função de onda vira
psi1(x)=Al(e^ikx+e^-ikxr)=2Acos(kx)
Os nós ficam em
$$\cos(kx)=0\quad\Longrightarrow\quad kx=\Bigl(n+\tfrac12\Bigr)\pi
;\Longrightarrow;x_n=\frac{(2n+1)\pi}{2k}.$$

Resposta

Nós na região x<0 para V₀=2E:
xn=(4n+3),pi4k, ninZ,;xn<0
No limite Eto V0, essas posições se reescrevem como
xn=(2n+1),pi2k,
ou seja, passam a ser exatamente os zeros de cos(kx),.

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