Calcule os nós das autofunções de um potencial degrau na região
para
. O que acontece com estas soluções no limite
?
Passo 1
Beleza, o que o enunciado está pedindo? Temos um potencial degrau em que
- Para x<0: V(x)=0
- Para x>0: V(x)=V₀
Eles querem achar os nós (as posições x onde a função de onda vale zero) na região x<0, supondo que V₀=2E (ou seja, a energia do elétron E é metade da altura do degrau). Depois, perguntam o que acontece com essas soluções quando a gente deixa E aproximar de V₀.
Conteúdo: resolvemos a equação de Schrödinger em duas regiões, calculamos as amplitudes de reflexão e depois achamos os zeros de ψ₁(x). Vamos precisar:
- Solução geral da equação de Schrödinger para potencial constante.
- Condições de contorno no degrau (continuidade de ψ e ψ′).
- Cálculo de R=B/A e achar x tal que ψ₁(x)=0.
Passo 2
Escrevendo a solução para x<0 (região livre):
onde
Para x>0, como E<V₀, a parte que “entra” no degrau é exponencial decrescente, mas a gente só precisa de R=B/A.
Impondo contorno no x=0 (continuidade de ψ e ψ′) dá a amplitude de reflexão
Como V₀=2E, temos V₀−E=E ⇒ κ=k, então
Passo 3
Agora achamos os nós pela condição
, ou seja
Como
Isolando x:
Mas note que a fase ± pode trocar n→n−1, então escrevemos de modo equivalente:
Passo 4
No limite
(ou seja, E→2E? Ops, mais precisamente E aproximando de V₀ de baixo), temos κ→0 e daí
Então a função de onda vira
Os nós ficam em
$$\cos(kx)=0\quad\Longrightarrow\quad kx=\Bigl(n+\tfrac12\Bigr)\pi
;\Longrightarrow;x_n=\frac{(2n+1)\pi}{2k}.$$
Resposta
Nós na região x<0 para V₀=2E:
No limite
ou seja, passam a ser exatamente os zeros de
.