O potencial elétrico em uma certa região do espaço é dado por:
Calcule o módulo do campo elétrico (em N/C) no ponto (
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o módulo do campo elétrico numa região especificada, dado o potencial elétrico $ V(x, y, z) = 2xy^{2} + yz - xz $. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente como relacionar o potencial elétrico com o campo elétrico através do gradiente. Vamos precisar calcular derivadas parciais e aplicar a fórmula do gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre o potencial elétrico $ V $ e o campo elétrico $ \mathbf{E} $. O campo elétrico é dado pelo negativo do gradiente do potencial:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ V(x, y, z) = 2xy^{2} + yz - xz $:
- Derivada parcial em relação a $ x $:
- Derivada parcial em relação a $ y $:
- Derivada parcial em relação a $ z $:
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo elétrico $ \mathbf{E} $ usando as derivadas encontradas:
Substituindo o ponto dado $ (x, y, z) = (0.2,m, 1.5,m, -0.5,m) $:
- Para a componente $ x $:
- Para a componente $ y $:
- Para a componente $ z $:
Então, o campo elétrico no ponto é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o módulo do campo elétrico $ |\mathbf{E}| $ usando a fórmula da magnitude de um vetor:
Resposta
O módulo do campo elétrico no ponto $ (0.2,m, 1.5,m, -0.5,m) $ é aproximadamente $ 5.21,N/C $.