O potencial elétrico em uma certa região do espaço é dado por:
V(x, y, z)=2 x y^2+y z-x z
Calcule o módulo do campo elétrico (em N/C) no ponto ( 0,2 m ; 1,5 m ;-0,5 m ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o módulo do campo elétrico numa região especificada, dado o potencial elétrico $ V(x, y, z) = 2xy^{2} + yz - xz $. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente como relacionar o potencial elétrico com o campo elétrico através do gradiente. Vamos precisar calcular derivadas parciais e aplicar a fórmula do gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o potencial elétrico $ V $ e o campo elétrico $ \mathbf{E} $. O campo elétrico é dado pelo negativo do gradiente do potencial:
V
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ V(x, y, z) = 2xy^{2} + yz - xz $:
  1. Derivada parcial em relação a $ x $:
V(x, y, z) = 2xy^2 + yz - xz
  1. Derivada parcial em relação a $ y $:
x
  1. Derivada parcial em relação a $ z $:
partial Vpartial x = partialpartial x (2xy^2) + partialpartial x (yz) - partialpartial x (xz) = 2y^2 + 0 - z = 2y^2 - z

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico $ \mathbf{E} $ usando as derivadas encontradas:
E
Substituindo o ponto dado $ (x, y, z) = (0.2,m, 1.5,m, -0.5,m) $:
  1. Para a componente $ x $:
E = -( partial Vpartial x i + partial Vpartial y j + partial Vpartial z k ) = -(2y^2 - z) i - (4xy + z) j - (y - x) k
  1. Para a componente $ y $:
(x, y, z) = (0.2,m, 1.5,m, -0.5,m)
  1. Para a componente $ z $:
x
Então, o campo elétrico no ponto é:
Ex = -(2(1.5)^2 - (-0.5)) = -(2 times 2.25 + 0.5) = -(4.5 + 0.5) = -5.0,N/C

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo do campo elétrico $ |\mathbf{E}| $ usando a fórmula da magnitude de um vetor:
|E|

Resposta

O módulo do campo elétrico no ponto $ (0.2,m, 1.5,m, -0.5,m) $ é aproximadamente $ 5.21,N/C $.

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