Seja Psi(x, t) uma superposição de 2 estados estacionários tendo diferentes autovalores de energia:
Psi(x, t)=c1 Psi1(x, t)+c2 Psi2(x, t)
Obtenha a formula da incerteza de energia De neste estado. Como caso especial, suponha que Psi seja uma mistura de iguais partes de Psi1 e Psi2 e interprete o correspondente resultado para De.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre superposição de estados quânticos e quer que a gente encontre a incerteza na energia ( De) desse estado superposto. Para isso, vamos precisar entender como calcular expectativas de energia e variâncias em mecânica quântica. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma superposição de estados estacionários. No nosso caso, a função de onda Psi(x, t) é uma combinação dos estados Psi1(x, t) e Psi2(x, t), cada um com um coeficiente c1 e c2. Matematicamente:
Psi(x, t) = c1 Psi1(x, t) + c2 Psi2(x, t)
Esses estados Psi1 e Psi2 são estacionários, ou seja, eles têm energias bem definidas, chamadas de autovalores de energia, digamos E1 e E2.

Passo 3

Agora, para encontrar a incerteza na energia ( De), precisamos calcular a variância da energia, que é dada por:
(De
Aqui, lang<= E rang<= é o valor esperado da energia, e lang<= E^2 rang<= é o valor esperado do quadrado da energia.

Passo 4

Vamos calcular o valor esperado da energia lang<= E rang<=. Isso é feito usando a função de onda superposta:
lang<= E rang<= = integral Psi^*(x, t) H Psi(x, t) , dx
Como Psi1 e Psi2 são estados estacionários, sabemos que:
H Psi1 = E1 Psi1 e H Psi2 = E2 Psi2
Substituindo na expressão de lang<= E rang<=:
lang<= E rang<= = |c1|^2 E1 + |c2|^2 E2

Passo 5

Agora, vamos calcular lang<= E^2 rang<=. Similarmente:
lang<= E^2 rang<= = integral Psi^*(x, t) H^2 Psi(x, t) , dx
Como H Psi1 = E1 Psi1 e H Psi2 = E2 Psi2, temos:
lang<= E^2 rang<= = |c1|^2 E1^2 + |c2|^2 E2^2

Passo 6

Agora, vamos usar esses resultados para encontrar a variância da energia:
(De
Substituindo os valores calculados:
(De
Simplificando:
(De

Passo 7

Para encontrar De, basta tirar a raiz quadrada:
De
Esse é o resultado geral para a incerteza de energia em uma superposição de dois estados estacionários.

Passo 8

Agora, vamos considerar o caso especial onde Psi é uma mistura de iguais partes de Psi1 e Psi2. Isso significa que os coeficientes são iguais, ou seja:
|c1| = |c2| = 1raiz2
Substituindo na fórmula da incerteza:
De
Simplificando:
De
Isso mostra que, quando temos uma superposição com pesos iguais, a incerteza na energia é metade da diferença entre os autovalores de energia dos estados envolvidos.

Resposta

A incerteza de energia no estado superposto é dada por
De
Para o caso em que Psi é uma mistura igual de Psi1 e Psi2, temos
De

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