Seja
uma superposição de 2 estados estacionários tendo diferentes autovalores de energia:
Obtenha a formula da incerteza de energia
neste estado. Como caso especial, suponha que
seja uma mistura de iguais partes de
e
e interprete o correspondente resultado para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre superposição de estados quânticos e quer que a gente encontre a incerteza na energia (
) desse estado superposto. Para isso, vamos precisar entender como calcular expectativas de energia e variâncias em mecânica quântica. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma superposição de estados estacionários. No nosso caso, a função de onda
é uma combinação dos estados
e
, cada um com um coeficiente
e
. Matematicamente:
Esses estados
e
são estacionários, ou seja, eles têm energias bem definidas, chamadas de autovalores de energia, digamos
e
.
Passo 3
Agora, para encontrar a incerteza na energia (
), precisamos calcular a variância da energia, que é dada por:
Aqui,
é o valor esperado da energia, e
é o valor esperado do quadrado da energia.
Passo 4
Vamos calcular o valor esperado da energia
. Isso é feito usando a função de onda superposta:
Como
e
são estados estacionários, sabemos que:
Substituindo na expressão de
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Similarmente:
Como
e
, temos:
Passo 6
Agora, vamos usar esses resultados para encontrar a variância da energia:
Substituindo os valores calculados:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar
, basta tirar a raiz quadrada:
Esse é o resultado geral para a incerteza de energia em uma superposição de dois estados estacionários.
Passo 8
Agora, vamos considerar o caso especial onde
é uma mistura de iguais partes de
e
. Isso significa que os coeficientes são iguais, ou seja:
Substituindo na fórmula da incerteza:
Simplificando:
Isso mostra que, quando temos uma superposição com pesos iguais, a incerteza na energia é metade da diferença entre os autovalores de energia dos estados envolvidos.
Resposta
A incerteza de energia no estado superposto é dada por
Para o caso em que
é uma mistura igual de
e
, temos