Calcule os autovalores e autovetores das matrizes:
A=\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\\\ -3 & 4\end{array}\right];

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix}-1 & 2 \\\\ -3 & 4\end{pmatrix}.
Este é um problema de Álgebra Linear sobre decomposição espectral: vamos primeiro achar o polinômio característico \det(A - \lambda I) para obter os autovalores \lambda e depois resolver (A - \lambda I)v = 0 para cada autovalor, encontrando assim os autovetores.

Passo 2

Montamos a matriz A - \lambda I e calculamos seu determinante:
A - \lambda I = \begin{pmatrix}-1 - \lambda & 2 \\[4pt] -3 & 4 - \lambda\end{pmatrix},
\det(A - \lambda I) = (-1 - \lambda)(4 - \lambda) - (2)(-3).]

Passo 3

Expandindo e simplificando o determinante:
(-1 - \lambda)(4 - \lambda) + 6 = \bigl(\lambda^2 - 3\lambda - 4\bigr) + 6 = \lambda^2 - 3\lambda + 2.
O polinômio característico é
\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0
e suas raízes são
\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 2.

Passo 4

Para \lambda_1 = 1, resolvemos
(A - I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}-2 & 2 \\[4pt] -3 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem -2x + 2y = 0, ou seja y = x. Tomando x=1, obtemos um autovetor
v_1 = \begin{pmatrix}1 \\\\ 1\end{pmatrix} \quad(\text{associado a } \lambda_1=1).]

Passo 5

Para \lambda_2 = 2, resolvemos
(A - 2I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}-3 & 2 \\[4pt] -3 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem -3x + 2y = 0, ou seja y = \tfrac{3}{2}x. Tomando x=2, obtemos um autovetor
v_2 = \begin{pmatrix}2 \\\\ 3\end{pmatrix} \quad(\text{associado a } \lambda_2=2).]

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
\lambda_1 = 1 com v_1 = \begin{pmatrix}1 \\\\ 1\end{pmatrix},
\lambda_2 = 2 com v_2 = \begin{pmatrix}2 \\\\ 3\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados