Calcule os autovalores e autovetores das matrizes: A=\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\\\ -3 & 4\end{array}\right];
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix}-1 & 2 \\\\ -3 & 4\end{pmatrix}.
Este é um problema de Álgebra Linear sobre decomposição espectral: vamos primeiro achar o polinômio característico \det(A - \lambda I) para obter os autovalores \lambda e depois resolver (A - \lambda I)v = 0 para cada autovalor, encontrando assim os autovetores.
Passo 2
Montamos a matriz A - \lambda I e calculamos seu determinante:
A - \lambda I = \begin{pmatrix}-1 - \lambda & 2 \\[4pt] -3 & 4 - \lambda\end{pmatrix},
Da primeira linha vem -3x + 2y = 0, ou seja y = \tfrac{3}{2}x. Tomando x=2, obtemos um autovetor
v_2 = \begin{pmatrix}2 \\\\ 3\end{pmatrix} \quad(\text{associado a } \lambda_2=2).]
Resposta
Os autovalores e autovetores de A são: \lambda_1 = 1 com v_1 = \begin{pmatrix}1 \\\\ 1\end{pmatrix}, \lambda_2 = 2 com v_2 = \begin{pmatrix}2 \\\\ 3\end{pmatrix}.