Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z) \mapsto(x-2 y, z, x+y). Mostre que T é um isomorfismo e calcule sua inversa T^{-1}.

Passo 1

O enunciado define T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z)=(\,x-2y,\;z,\;x+y\,).
O que queremos é mostrar que T é um isomorfismo (isto é, invertível) e encontrar explicitamente T^{-1}. Para isso, vamos usar matriz na base canônica, verificar que o determinante é não nulo e, em seguida, resolver o sistema
(u,v,w)=T(x,y,z)
para (x,y,z).

Passo 2

Na base canônica, a matriz de T é
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},
pois
T(x,y,z)= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot(0\cdot0-1\cdot1)\;-\;(-2)\cdot(0\cdot0-1\cdot1) \;+\;0\cdot\bigl(\dots\bigr) =-1-2=-3.

Passo 3

Como \det(A)=-3\neq0, a transformação T é invertível. Logo, T é um isomorfismo linear.

Passo 4

Para achar T^{-1}, seja
(u,v,w)=T(x,y,z),
isto é
u = x - 2y,\quad v = z,\quad w = x + y.

Passo 5

Resolvendo em função de (u,v,w):
soma u+2w=(x-2y)+2(x+y)=3x, logo
x=\frac{u+2w}{3}.
diferença w-u=(x+y)-(x-2y)=3y, logo
y=\frac{w-u}{3}.
e já temos z=v. Portanto
T^{-1}(u,v,w) =\Bigl(\tfrac{u+2w}{3},\;\tfrac{w-u}{3},\;v\Bigr).

Resposta

T é um isomorfismo, e sua inversa é
T^{-1}(u,v,w) =\Bigl(\tfrac{u+2w}{3},\;\tfrac{w-u}{3},\;v\Bigr).

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