Calcule os autovalores e autovetores das matrizes:
A=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{2} & -1 \\\\ 1 & \sqrt{2}\end{array}\right]

Passo 1

Resumindo o enunciado: tem-se a matriz
A = \begin{pmatrix}\sqrt{2} & -1 \\[6pt] 1 & \sqrt{2}\end{pmatrix}.
O objetivo é encontrar seus autovalores e autovetores. Para isso, usaremos a teoria de autovalores: primeiro calculamos o polinômio característico \det(A - \lambda I) para obter os autovalores \lambda, depois resolvemos (A - \lambda I)v = 0 para cada \lambda a fim de achar o autovetor v.]

Passo 2

Calculamos o determinante de (A - \lambda I):
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}\sqrt{2} - \lambda & -1 \\[4pt] 1 & \sqrt{2} - \lambda\end{pmatrix} = (\sqrt{2} - \lambda)^2 - (-1)\cdot1 = (\sqrt{2} - \lambda)^2 + 1.]

Passo 3

Igualamos o determinante a zero e expandimos:
(\sqrt{2} - \lambda)^2 + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda^2 - 2\sqrt{2}\,\lambda + 2 + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda^2 - 2\sqrt{2}\,\lambda + 3 = 0.
Pela fórmula de Bhaskara:
\lambda = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 4\cdot3}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 12}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{-4}}{2} = \sqrt{2} \pm i.
Logo, os autovalores são
\lambda_1 = \sqrt{2} + i e \lambda_2 = \sqrt{2} - i.

Passo 4

Para cada autovalor \lambda, resolvemos (A - \lambda I)v = 0.
Para \lambda_1 = \sqrt{2} + i:
A - \lambda_1 I = \begin{pmatrix}\sqrt{2} - (\sqrt{2}+i) & -1 \\[4pt] 1 & \sqrt{2} - (\sqrt{2}+i)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\,i & -1 \\[4pt] 1 & -\,i\end{pmatrix}.
A equação -\,i\,x - y = 0 implica y = -\,i\,x. Assim um autovetor é
v_1 = \begin{pmatrix}1 \\[4pt] -\,i\end{pmatrix}.
Para \lambda_2 = \sqrt{2} - i:
A - \lambda_2 I = \begin{pmatrix}\sqrt{2} - (\sqrt{2}-i) & -1 \\[4pt] 1 & \sqrt{2} - (\sqrt{2}-i)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}i & -1 \\[4pt] 1 & i\end{pmatrix},
e a equação i\,x - y = 0 leva a y = i\,x. Um autovetor correspondente é
v_2 = \begin{pmatrix}1 \\[4pt] i\end{pmatrix}.]

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
\lambda_1 = \sqrt{2} + i,\quad v_1 = \begin{pmatrix}1 \\[4pt] -\,i\end{pmatrix}; \qquad \lambda_2 = \sqrt{2} - i,\quad v_2 = \begin{pmatrix}1 \\[4pt] i\end{pmatrix}.]

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