Existe uma transformação linear
linear sobrejetora? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe uma transformação linear
que seja sobrejetora, isto é, cujo valor de imagem seja todo . O conteúdo necessário é o Teorema do Núcleo e da Imagem (ou Teorema da Dimensão), que relaciona dimensão do domínio com a dimensão da imagem de uma transformação linear.
que seja sobrejetora, isto é, cujo valor de imagem seja todo
Passo 2
Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, para toda transformação linear
vale
Aqui
, logo
. A imagem de
é um subespaço de
, portanto
Para
ser sobrejetora precisamos
, ou seja
Mas isso contradiz
. Logo não há como alcançar dimensão 3 partindo de um domínio de dimensão 2.
Resposta
Não existe transformação linear sobrejetora
, pois a imagem de
teria dimensão no máximo 2, insuficiente para cobrir todo
(dimensão 3).