Existe uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} linear sobrejetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma transformação linear
T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}
que seja sobrejetora, isto é, cujo valor de imagem seja todo \mathbb{R}^{3}. O conteúdo necessário é o Teorema do Núcleo e da Imagem (ou Teorema da Dimensão), que relaciona dimensão do domínio com a dimensão da imagem de uma transformação linear.

Passo 2

Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, para toda transformação linear T: V\to W vale
\dim(V)=\dim\bigl(\ker(T)\bigr)+\dim\bigl(\operatorname{Im}(T)\bigr).
Aqui V=\mathbb{R}^2, logo \dim(V)=2. A imagem de T é um subespaço de \mathbb{R}^3, portanto
\dim\bigl(\operatorname{Im}(T)\bigr)\le\dim(\mathbb{R}^2)=2.
Para T ser sobrejetora precisamos \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3, ou seja
\dim\bigl(\operatorname{Im}(T)\bigr)=\dim(\mathbb{R}^3)=3.
Mas isso contradiz \dim\bigl(\operatorname{Im}(T)\bigr)\le2. Logo não há como alcançar dimensão 3 partindo de um domínio de dimensão 2.

Resposta

Não existe transformação linear sobrejetora T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, pois a imagem de T teria dimensão no máximo 2, insuficiente para cobrir todo \mathbb{R}^3 (dimensão 3).

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