Calcule os autovalores e autovetores das matrizes:
A=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{2} & -1 \\\\ 1 & \sqrt{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}\sqrt{2} & -1 \\[6pt] 1 & \sqrt{2}\end{pmatrix}
e pede os autovalores e autovetores. O conteúdo é álgebra linear: calculamos o polinômio característico de A, obtemos os autovalores \lambda e depois resolvemos (A - \lambda I)v = 0 para achar cada autovetor v.]

Passo 2

Para achar o polinômio característico, escrevemos
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}\sqrt{2}-\lambda & -1 \\[3pt] 1 & \sqrt{2}-\lambda\end{pmatrix} = (\sqrt{2}-\lambda)^2 - (-1)\cdot 1
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\det(A - \lambda I) = (\sqrt{2}-\lambda)^2 + 1.]

Passo 3

Impondo \det(A-\lambda I)=0, temos
(\sqrt{2}-\lambda)^2 + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; (\lambda - \sqrt{2})^2 = -1 \;\Longrightarrow\; \lambda - \sqrt{2} = \pm i.
Portanto os autovalores são
\lambda_1 = \sqrt{2} + i, \quad \lambda_2 = \sqrt{2} - i.

Passo 4

Para \lambda_1 = \sqrt{2}+i, resolvemos
(A - \lambda_1 I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}\sqrt{2}-(\sqrt{2}+i) & -1 \\[3pt] 1 & \sqrt{2}-(\sqrt{2}+i)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = 0
que vira
\begin{pmatrix}-i & -1 \\[3pt] 1 & -i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = 0.
Da primeira linha -i\,x - y = 0 segue y = -i\,x. Tomando x=1, um autovetor associado é
v_1 = \begin{pmatrix}1 \\\\ -i\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda_2 = \sqrt{2}-i, de modo análogo, escrevemos
(A - \lambda_2 I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}i & -1 \\[3pt] 1 & i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = 0
e, da primeira linha i\,x - y = 0, vem y = i\,x. Escolhendo x=1, obtemos
v_2 = \begin{pmatrix}1 \\\ i\end{pmatrix}.]

Resposta

Os autovalores são
\lambda_1 = \sqrt{2} + i, \quad \lambda_2 = \sqrt{2} - i.
Autovetores correspondentes:
v_1 = \begin{pmatrix}1 \\\\ -i\end{pmatrix} \quad\text{para}\;\lambda_1, \quad v_2 = \begin{pmatrix}1 \\\ i\end{pmatrix} \quad\text{para}\;\lambda_2.

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