Dado um espaço vetorial V. Determine um produto interno sobre V tal que:
Sendo V=\mathbb{R}^{2} e \beta=\{(0,1),(1,1)\} seja uma base ortonormal de V.

Passo 1

O enunciado pede para definir um produto interno em V=\mathbb{R}^2 de modo que a base
\beta = \{\,b_1=(0,1),\;b_2=(1,1)\}
seja ortonormal. Ou seja, queremos um produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle que seja bilinear, simétrico, positivo-definido e tal que
\langle b_i,b_j\rangle = \delta_{ij} \quad(i,j=1,2).

Passo 2

Em coordenadas canônicas, qualquer produto interno em \mathbb{R}^2 pode ser escrito como
\langle x,y\rangle = x^{T} A\,y,
onde A é uma matriz 2\times2 simétrica e definida positiva. Denotemos
A = \begin{pmatrix}a&c\\\ c&b\end{pmatrix},
com a>0, b>0 e ab-c^2>0.

Passo 3

Impondo a ortonormalidade da base \beta, temos as condições
\langle b_1,b_1\rangle=1,\quad \langle b_2,b_2\rangle=1,\quad \langle b_1,b_2\rangle=0.
Como b_1=(0,1) e b_2=(1,1), calculamos
\langle b_1,b_1\rangle =(0,1)\,A\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} =b,
\langle b_2,b_2\rangle =(1,1)\,A\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} =a + 2c + b,
\langle b_1,b_2\rangle =(0,1)\,A\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} =c + b.
As igualdades \langle b_1,b_1\rangle=1, \langle b_2,b_2\rangle=1 e \langle b_1,b_2\rangle=0 viram
b = 1, \quad a + 2c + b = 1, \quad c + b = 0.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} b = 1,\\\ c + b = 0,\\\ a + 2c + b = 1, \end{cases}
temos de c + 1=0 que c=-1, e então de a + 2(-1) + 1=1 obtemos a=2. Logo
A = \begin{pmatrix}2 & -1\\[6pt] -1 & 1\end{pmatrix}.
Verifica-se facilmente que A é definida positiva (determinante 2\cdot1 - (-1)^2 =1>0).]

Passo 5

Portanto, o produto interno desejado é
\langle (x_1,x_2),\,(y_1,y_2)\rangle = \begin{pmatrix}x_1&x_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & -1\\[3pt] -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1\\[3pt]y_2\end{pmatrix}.]

Resposta

\boxed{ \langle (x_1,x_2),\,(y_1,y_2)\rangle = 2\,x_1y_1 \;-\; x_1y_2 \;-\; x_2y_1 \;+\; x_2y_2. }

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