Dado um espaço vetorial
. Determine um produto interno sobre
tal que:
Sendo
e
seja uma base ortonormal de
.
Sendo
Passo 1
O enunciado pede para definir um produto interno em
de modo que a base
seja ortonormal. Ou seja, queremos um produto interno
que seja bilinear, simétrico, positivo-definido e tal que
Passo 2
Em coordenadas canônicas, qualquer produto interno em
pode ser escrito como
onde
é uma matriz
simétrica e definida positiva. Denotemos
com
,
e
.
Passo 3
Impondo a ortonormalidade da base
, temos as condições
Como
e
, calculamos
As igualdades
,
e
viram
Passo 4
Resolvendo o sistema
temos de
que
, e então de
obtemos
. Logo
Verifica-se facilmente que
é definida positiva (determinante
).]
Passo 5
Portanto, o produto interno desejado é