Dado um espaço vetorial V. Determine um produto interno sobre V tal que:
Sendo V=P_{1}(\mathbb{R}) e \beta=\{1,3 t\} seja uma base ortonormal de V.

Passo 1

O enunciado pede um produto interno em V = P_{1}(\mathbb{R}) de modo que a base \beta = \{1,\,3t\} seja ortonormal. O conteúdo usado é: se \beta é ortonormal então, para p=\sum x_i v_i e q=\sum y_i v_i, temos
\langle p,q\rangle = \sum_i x_i y_i
onde x_i,y_i são as coordenadas de p e q na base \beta.

Passo 2

Para um polinômio genérico
p(t)=a+bt
vamos achar suas coordenadas (x,y) na base \{1,3t\}. Escrevemos
p(t)=x\cdot1 + y\cdot(3t) = x + 3y\,t.
Comparando coeficientes em a+bt = x + 3y\,t obtemos
x = a, \qquad 3y = b \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{b}{3}.
Analogamente, para q(t)=c+dt as coordenadas são \bigl(c,\tfrac{d}{3}\bigr).

Passo 3

Definimos o produto interno como o produto escalar das coordenadas em \beta:
\langle p,q\rangle = x\cdot c + y\cdot\frac{d}{3} = a\,c + \frac{b}{3}\,\frac{d}{3} = a\,c + \frac{b\,d}{9}.
Verificação rápida:
\langle 1,1\rangle = 1\cdot1 + 0 = 1, \quad \langle 1,3t\rangle = a c + \tfrac{b d}{9} = 1\cdot0 + 0 = 0, \quad \langle 3t,3t\rangle = 0 + \frac{3\cdot3}{9} = 1.
Logo \{1,3t\} é ortonormal.

Resposta

\langle a+bt,\;c+dt\rangle \;=\; a\,c \;+\;\frac{b\,d}{9}.

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