Calcule os autovalores e autovetores das transformações precedentes na base canônica.
A=[cc1 & 2 3 & -1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular os autovalores e os autovetores da matriz A = 1 & 2 3 & -1 na base canônica. Isso tá dentro do conteúdo de álgebra linear, mais precisamente sobre autovalores e autovetores. Pra resolver isso, a gente vai precisar encontrar os valores próprios (autovalores) resolvendo a equação característica e, depois, achar os vetores próprios (autovetores) associados a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A . Pra isso, usamos a equação característica, que é dada por det(A - lambda I) = 0 , onde lambda representa os autovalores e I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar A - lambda I :
A - lambda I = 1 - lambda & 2 3 & -1 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(-1 - lambda) - (2)(3)

Passo 4

Simplificando o determinante:
(1 - lambda)(-1 - lambda) = (1)(-1) + 1(-lambda) + (-lambda)(-1) + (-lambda)(-lambda) = -1 - lambda + lambda + lambda^2 = -1 + lambda^2
Então:
det(A - lambda I) = -1 + lambda^2 - 6 = lambda^2 - 7

Passo 5

Agora, resolvemos a equação característica:
lambda^2 - 7 = 0 Rightarrow lambda^2 = 7 Rightarrow lambda = raiz7 ou lambda = -raiz7
Então, os autovalores são lambda1 = raiz7 e lambda2 = -raiz7 .

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos achar os autovetores correspondentes. Para cada lambda , resolvemos a equação (A - lambda I)v = 0 , onde v é o autovetor.

Passo 7

Vamos começar com [\lambda_1 = \sqrt{7}):
Queremos achar um vetor tal que:
Podemos resolver a primeira equação para (x]:
Podemos escolher para simplificar, então:
Multiplicando numerador e denominador por para racionalizar:
Então, o autovetor associado a é:

Passo 8

Agora, vamos para [\lambda_2 = -\sqrt{7}):
Queremos achar um vetor tal que:
Resolvendo a primeira equação para (x]:
Escolhendo , temos:
Então, o autovetor associado a é:

Resposta

Os autovalores da matriz A são lambda1 = raiz7 e lambda2 = -raiz7 . Os autovetores correspondentes são:
v1 = raiz7 + 13 1 e v2 = 1 - raiz73 1

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