Calcule os autovalores e autovetores das transformações precedentes na base canônica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular os autovalores e os autovetores da matriz A = 1 & 2 3 & -1 na base canônica. Isso tá dentro do conteúdo de álgebra linear, mais precisamente sobre autovalores e autovetores. Pra resolver isso, a gente vai precisar encontrar os valores próprios (autovalores) resolvendo a equação característica e, depois, achar os vetores próprios (autovetores) associados a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A . Pra isso, usamos a equação característica, que é dada por det(A - lambda I) = 0 , onde lambda representa os autovalores e I é a matriz identidade.
Então, os autovalores são lambda1 = raiz7 e lambda2 = -raiz7 .
Passo 6
Agora que temos os autovalores, vamos achar os autovetores correspondentes. Para cada lambda , resolvemos a equação (A - lambda I)v = 0 , onde v é o autovetor.
Passo 7
Vamos começar com [\lambda_1 = \sqrt{7}):
Queremos achar um vetor tal que:
Podemos resolver a primeira equação para (x]:
Podemos escolher para simplificar, então:
Multiplicando numerador e denominador por para racionalizar:
Então, o autovetor associado a é:
Passo 8
Agora, vamos para [\lambda_2 = -\sqrt{7}):
Queremos achar um vetor tal que:
Resolvendo a primeira equação para (x]:
Escolhendo , temos:
Então, o autovetor associado a é:
Resposta
Os autovalores da matriz A são lambda1 = raiz7 e lambda2 = -raiz7 . Os autovetores correspondentes são: