Problema 12 Encontre uma base para em cada um dos casos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar uma base para o complemento ortogonal de , que é . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços e ortogonalidade. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar todos os vetores que são “perpendiculares” a todos os vetores que estão em .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal . Esse conjunto consiste em todos os vetores que são ortogonais (ou seja, têm produto interno igual a zero) com cada vetor de . No nosso caso, é gerado pelos vetores , e .
Passo 3
Para encontrar [S^{\perp}), precisamos achar todos os vetores que satisfazem as seguintes equações:
Vamos calcular esses produtos internos:
3.
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
a = 0
b + c = 0 → c = -b
Substituindo a = 0 e c = -b na terceira equação: 0 - b - (-b) = 0 → -b + b = 0 → 0 = 0
Isso significa que a = 0 e c = -b , enquanto b pode ser qualquer número real.
Passo 5
Então, qualquer vetor em S^perp tem a forma (0, b, -b) . Podemos escolher b = 1 para simplificar e obter um vetor específico: (0, 1, -1) .