Problema 12 Encontre uma base para
em cada um dos casos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o Problema 12 juntos! A gente precisa encontrar uma base para o conjunto ortogonal de
, que é
. No enunciado,
é gerado pelo vetor
. Pra isso, vamos precisar entender sobre espaços vetoriais e produtos escalares, que ajudam a determinar a ortogonalidade entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a todos os vetores em
. Como
é gerado por
, precisamos encontrar todos os vetores
que satisfazem o produto escalar com
igual a zero.
Passo 3
O produto escalar entre
e
é:
Então, a condição para que o vetor pertença a
é
.
Passo 4
Agora, vamos expressar
em termos de
:
Portanto, qualquer vetor em
pode ser escrito como
, onde
e
podem ser quaisquer números reais.
Passo 5
Podemos separar os termos com
e
:
Isso mostra que qualquer vetor em
é uma combinação linear dos vetores
e
.
Resposta
Uma base para
é
.