Problema 12 Encontre uma base para S^perp em cada um dos casos.
S=[(1,1,0)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o Problema 12 juntos! A gente precisa encontrar uma base para o conjunto ortogonal de S , que é S^perp . No enunciado, S é gerado pelo vetor (1,1,0) . Pra isso, vamos precisar entender sobre espaços vetoriais e produtos escalares, que ajudam a determinar a ortogonalidade entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que S^perp é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a todos os vetores em S . Como S é gerado por (1,1,0) , precisamos encontrar todos os vetores (x,y,z) que satisfazem o produto escalar com (1,1,0) igual a zero.

Passo 3

O produto escalar entre (x,y,z) e (1,1,0) é:
x cdot 1 + y cdot 1 + z cdot 0 = x + y = 0
Então, a condição para que o vetor pertença a S^perp é x + y = 0 .

Passo 4

Agora, vamos expressar y em termos de x :
y = -x
Portanto, qualquer vetor em S^perp pode ser escrito como (x, -x, z) , onde x e z podem ser quaisquer números reais.

Passo 5

Podemos separar os termos com x e z :
(x, -x, z) = x(1, -1, 0) + z(0, 0, 1)
Isso mostra que qualquer vetor em S^perp é uma combinação linear dos vetores (1, -1, 0) e (0, 0, 1) .

Resposta

Uma base para S^perp é , (1,, -1,, 0),; (0,, 0,, 1) , .

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