Calcule
Autovalores de \left[\begin{array}{cccc}-1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right] com suas multiplicidades algébricas.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e pede para calcular os autovalores de A juntamente com as suas multiplicidades algébricas. Vou listar exatamente o que é pedido:
  • Encontrar todos os valores \lambda tais que existe vetor não nulo v com A v=\lambda v.
  • Para cada autovalor, informar a sua multiplicidade algébrica (ou seja, a multiplicidade como raiz do polinômio característico).]

Passo 2

Rápida revisão do conceito que vamos usar (sem pular etapas):
  • Autovalores são as raízes do polinômio característico de A,
  • O polinômio característico é
p(\lambda)=\det(A-\lambda I),
onde I é a matriz identidade 4\times4.
  • A multiplicidade algébrica de um autovalor \lambda_0 é o expoente com que (\lambda-\lambda_0) aparece na fatoração de p(\lambda).

Passo 3

Observar a estrutura da matriz A. Ela é bloco-diagonal com três blocos (dois blocos 1\times1 e um bloco 2\times2):
A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & B \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Propriedade útil: o determinante de uma matriz bloco-diagonal é o produto dos determinantes dos blocos. Portanto o polinômio característico de A é o produto dos polinômios característicos dos blocos.]

Passo 4

Calcular os polinômios característicos dos blocos individuais:
  • Para o bloco 1\times1 [-1] o fator é \det([-1]-\lambda)=(-1-\lambda).
  • Para o bloco 1\times1 [2] o fator é \det([2]-\lambda)=(2-\lambda).
  • Para o bloco B temos
\det(B-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Calcule o determinante deste 2\times2:
\det(B-\lambda I)=(1-\lambda)(1-\lambda)-1=(1-\lambda)^2-1.]

Passo 5

Simplificar (1-\lambda)^2-1:
(1-\lambda)^2-1 = (1-2\lambda+\lambda^2)-1 = \lambda^2-2\lambda = \lambda(\lambda-2).
Logo o fator vindo do bloco B é \lambda(\lambda-2).

Passo 6

Multiplicar todos os fatores para obter o polinômio característico de A:
p(\lambda)=(-1-\lambda)(2-\lambda)\,\lambda(\lambda-2).
Agora organizar os sinais e fatores de forma canônica. Note que -1-\lambda=-(\lambda+1) e 2-\lambda=-(\lambda-2). Assim
p(\lambda)=\bigl(-(\lambda+1)\bigr)\bigl(-(\lambda-2)\bigr)\lambda(\lambda-2)=(\lambda+1)\lambda(\lambda-2)^2.
Portanto o polinômio característico fatorado é
p(\lambda)=\lambda(\lambda-2)^2(\lambda+1).

Passo 7

Ler as raízes e suas multiplicidades algébricas a partir da fatoração:
  • O fator \lambda dá o autovalor \lambda=0 com multiplicidade algébrica 1.
  • O fator (\lambda-2)^2 dá o autovalor \lambda=2 com multiplicidade algébrica 2.
  • O fator \lambda+1 dá o autovalor \lambda=-1 com multiplicidade algébrica 1.
Como checagem rápida: a soma dos autovalores (contados com multiplicidade) é -1+2+2+0=3, que bate com a traça de A ( \mathrm{tr}(A)=-1+2+1+1=3). O determinante também confere porque contém um fator zero (produto dos autovalores é zero), o que corresponde ao fato de \det(B)=0.

Resposta

\lambda=-1 com multiplicidade algébrica 1
\lambda=2 com multiplicidade algébrica 2
\lambda=0 com multiplicidade algébrica 1

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