Seja
um subespaço de
e
. Encontre o vetor
em
mais próximo de
.
Valendo menos: encontre uma base ortogonal para
.
Valendo menos: encontre uma base ortogonal para
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (vou listar riscado e direto, pegando exatamente os vetores do enunciado):
- Subespaço
gerado por dois vetores: e . Vou denotar - Vetor alvo
.
O enunciado pede duas coisas:
- O vetor
que está mais próximo de (isto é, a projeção ortogonal de sobre ). - (Valendo menos) encontrar uma base ortogonal para
.
Passo 2
Ideia do método e fórmulas principais — sem pular etapas, tipo aula rápida.
-
Produto interno (produto escalar) padrão em
: para e , A norma associada é. -
Projeção ortogonal de um vetor
num subespaço : se temos uma base ortogonal de , então Essa fórmula vem da ideia de decomporem componente em mais componente ortogonal a . -
Como ainda não temos uma base ortogonal de
, vamos construí‑la por Gram–Schmidt a partir de . Gram–Schmidt (versão para dois vetores) diz: e entãoé ortogonal (se forem linearmente independentes).
Passo 3
Calcular produtos escalares necessários com os vetores dados.
-
Primeiro, calcule
: -
Depois,
:
Passo 4
Aplicar Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal.
-
Tome
. -
CalculeVamos fazer a conta componente a componente:Então
-
Para evitar frações, é comum multiplicar
por uma constante não nula; por exemplo, . Tanto quanto são bases ortogonais de (valendo lembrar: multiplicar um vetor da base por escalar mantém a base).
Passo 5
Verificação rápida de ortogonalidade.
- Verificar
: Está ok: são ortogonais.
Assim, uma base ortogonal conveniente para
é
Passo 6
Calcular a projeção de
sobre
usando a base ortogonal
.
- Calcule os produtos escalares
e :
-
Calcule
(já feito) e : -
Agora aplique a fórmula da projeção:Substituindo os valores:
-
Calcule
: Logo
Passo 7
Verificações finais e interpretação (esticando a intuição, fica mais seguro pra prova).
-
O vetor encontrado
está realmente em ? Sim: ele pode ser escrito em termos de : Então. -
A diferença
deve ser ortogonal a . Verifique com e :
Está ortogonal a ambos geradores, logo ortogonal a todo
. Isso confirma que
é a projeção ortogonal e, portanto, o vetor mais próximo de
em
.
Resposta
Uma base ortogonal para
é