Calcule os autovalores reais e seus autovetores do operadore linear em R^3 dado pela rotação de theta em torno de z:
(rrr cos theta & -sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 )

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz da rotação de ângulo theta em torno do eixo z em R^3:
A = costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1
Queremos os autovalores reais lambda e seus autovetores não nulos v tais que Av=lambda v.

Passo 2

Para encontrar os autovalores, montamos o determinante det(A-lambda I)=0. Como o bloco 2times2 é a rotação no plano xy e o terceiro eixo é fixo,
det(A-lambda I) = det! costheta-lambda & -sintheta & 0 sintheta & costheta-lambda & 0 0 & 0 & 1-lambda = (1-lambda),det! costheta-lambda & -sintheta sintheta & costheta-lambda
E esse 2times2
det costheta-lambda & -sintheta sintheta & costheta-lambda =(costheta-lambda)^2+(sintheta)^2 =lambda^2-2lambdacostheta+1

Passo 3

Logo o polinômio característico é
det(A-lambda I) =(1-lambda),(lambda^2-2lambdacostheta+1)
e as raízes são
lambda1=1, lambda2,3=costhetapm isintheta=e^pm itheta

Passo 4

Dos três valores obtidos, o único que é sempre real é lambda1=1. Os outros dois são reais apenas se sintheta=0, i.e.\ quando theta=kpi. Nesse caso costheta=pm1 e lambda2,3=pm1.

Passo 5

( 1) Para lambda=1 em qualquer theta, resolvemos (A-I)v=0. As duas primeiras linhas dão
(costheta-1)x-sintheta,y=0, sintheta,x+(costheta-1)y=0
que forçam x=y=0 (exceto no caso trivial theta=0, mas aí tudo é identidade). Da terceira linha não há restrição em z.
Logo o autovetor é qualquer múltiplo de
v1=(0,0,1),
i.e.\ o eixo z.
( 2) Se theta=kpi ímpar, então costheta=-1 e lambda2,3=-1 com multiplicidade 2. Para lambda=-1 temos (A+I)v=0, cujo bloco xy fica nulo, sem impor relação entre x,y, mas z deve ser zero. Assim os autovetores correspondentes formam o plano xy:
v2=(1,0,0), v3=(0,1,0)

Resposta

Para rotação genérica ( thetanotequiv0pmodpi):
lambda=1 com autovetores (0,0,1).
Para theta=kpi par: A=I, lambda=1 (tripla) e qualquer vetor em R^3.
Para theta=kpi ímpar: lambda=1 com autovetor (0,0,1) e lambda=-1 (dupla) com autovetores sp (1,0,0),(0,1,0).

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