Dos três valores obtidos, o único que é sempre real é lambda1=1. Os outros dois são reais apenas se sintheta=0, i.e.\ quando theta=kpi. Nesse caso costheta=pm1 e lambda2,3=pm1.
Passo 5
(1) Para lambda=1 em qualquer theta, resolvemos (A-I)v=0. As duas primeiras linhas dão
que forçam x=y=0 (exceto no caso trivial theta=0, mas aí tudo é identidade). Da terceira linha não há restrição em z.
Logo o autovetor é qualquer múltiplo de
v1=(0,0,1),
i.e.\ o eixo z.
(2) Se theta=kpi ímpar, então costheta=-1 e lambda2,3=-1 com multiplicidade 2. Para lambda=-1 temos (A+I)v=0, cujo bloco xy fica nulo, sem impor relação entre x,y, mas z deve ser zero. Assim os autovetores correspondentes formam o plano xy:
v2=(1,0,0), v3=(0,1,0)
Resposta
Para rotação genérica (thetanotequiv0pmodpi): lambda=1 com autovetores (0,0,1).
Para theta=kpi par: A=I, lambda=1 (tripla) e qualquer vetor em R^3.
Para theta=kpi ímpar: lambda=1 com autovetor (0,0,1) e lambda=-1 (dupla) com autovetores sp(1,0,0),(0,1,0).