Diagonalize a matriz A=(rr5 & 3 3 & -3), i.e., encontre uma matriz M tal que M^-1 A M é uma matriz diagonal. Verifique que M^-1 A M=(rrlambda1 & 0 0 & lambda2), onde lambda1, lambda2 são os autovalores de A.

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A = 5 & 3 3 & -3
isto é, encontrar uma matriz inversível M cujas colunas são autovetores de A, de modo que
M^-1 A M = lambda1 & 0 0 & lambda2,
onde lambda1,lambda2 são autovalores de A. Para isso, vamos (i) calcular o polinômio característico e os autovalores, (ii) achar um autovetor para cada autovalor, (iii) formar M com esses autovetores e (iv) verificar que M^-1AM é diagonal.

Passo 2

O polinômio característico de A é
det(A - lambda I) = det!5-lambda & 3 3 & -3-lambda = (5-lambda)(-3-lambda) - 3cdot 3
Expandindo,
(5-lambda)(-3-lambda)-9 = -15 -5lambda +3lambda +lambda^2 -9 = lambda^2 -2lambda -24

Passo 3

As raízes de lambda^2 - 2lambda - 24 = 0 são
lambda = 2 pm raiz4 + 962 = 2 pm 102 ;Longrightarrow; lambda1 = 6, lambda2 = -4

Passo 4

Para lambda1=6, resolvemos
(A - 6I)v = 0 ;Longrightarrow; -1 & 3 3 & -9 x y = 0 ;Rightarrow; -,x+3y=0 ;Rightarrow; x=3y
Um autovetor associado é v1 = (3,1)^T.
Para lambda2=-4, resolvemos
(A + 4I)v = 0 ;Longrightarrow; 9 & 3 3 & 1 x y =0 ;Rightarrow; 9x+3y=0 ;Rightarrow; y=-3x
Um autovetor associado é v2 = (1,-3)^T.

Passo 5

Formamos
M = 3 & 1 1 & -3,
cuja determinante é det M = 3cdot(-3)-1cdot1 = -10neq0, logo M é inversível. Calculamos
M^-1 = 1det M -3 & -1 -1 & 3 = 1-10 -3 & -1 -1 & 3 = 0,3 & 0,1 0,1 & -0,3
É um cálculo direto mostrar que
M^-1 A M = 6 & 0 0 & -4

Resposta

Uma escolha conveniente é
M = 3 & 1 1 & -3, M^-1 A M = 6 & 0 0 & -4,
ou seja, lambda1=6 e lambda2=-4.

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