Calcule os autovalores reais e seus autovetores do operadore linear em dado pela rotação de em torno de :
[Dica: qual é o autovetor (direção invariante) óbvio?]
Passo 1
O enunciado nos dá o operador linear em R^3 que é a rotação de ângulo tfracpi2 em torno da reta gerada por (1,1,1). O conteúdo envolve autovalores e autovetores de rotações em R^3. Sabendo da geometria de rotações, qualquer vetor paralelo ao eixo de rotação é invariante e produz o autovalor lambda=1. Os outros dois autovalores serão complexos e não teremos mais autovalores reais.
Passo 2
Vamos verificar algebraicamente que (1,1,1) é autovetor com lambda=1. Multiplicamos a matriz dada pelo vetor coluna 111:
ou seja, (1,1,1) é autovetor associado a lambda=1.
Passo 3
Como se trata de uma rotação própria em R^3 de ângulo tfracpi2, o polinômio característico é (lambda-1)(lambda^2+1)=0. Logo, os únicos autovalores reais são aqueles que anulam lambda-1, ou seja, lambda=1. Os demais pm i são complexos, não contando como autovalores reais.
Resposta
O único autovalor real é
lambda=1
e os autovetores reais correspondentes são todos os múltiplos de