Calcule os autovalores reais e seus autovetores do operadore linear em R^3 dado pela rotação de pi2 em torno de (1,1,1):
& (ccc 13 & 13-1raiz3 & 13+1raiz3 13+1raiz3 & 13 & 13-1raiz3 13-1raiz3 & 13+1raiz3 & 13 )= & =13(cccc 1 & 1-raiz3 & 1+raiz3 1+raiz3 & 1 & 1-raiz3 1-raiz3 & 1+raiz3 & 1 )
[Dica: qual é o autovetor (direção invariante) óbvio?]

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear em R^3 que é a rotação de ângulo tfracpi2 em torno da reta gerada por (1,1,1). O conteúdo envolve autovalores e autovetores de rotações em R^3. Sabendo da geometria de rotações, qualquer vetor paralelo ao eixo de rotação é invariante e produz o autovalor lambda=1. Os outros dois autovalores serão complexos e não teremos mais autovalores reais.

Passo 2

Vamos verificar algebraicamente que (1,1,1) é autovetor com lambda=1. Multiplicamos a matriz dada pelo vetor coluna 111:
13 1 & 1-raiz3 & 1+raiz3 1+raiz3 & 1 & 1-raiz3 1-raiz3 & 1+raiz3 & 1 111 = 13 1+(1-raiz3)+(1+raiz3) (1+raiz3)+1+(1-raiz3) (1-raiz3)+(1+raiz3)+1 = 111
Isso mostra que
A,(1,1,1)^T=(1,1,1)^T,
ou seja, (1,1,1) é autovetor associado a lambda=1.

Passo 3

Como se trata de uma rotação própria em R^3 de ângulo tfracpi2, o polinômio característico é (lambda-1)(lambda^2+1)=0. Logo, os únicos autovalores reais são aqueles que anulam lambda-1, ou seja, lambda=1. Os demais pm i são complexos, não contando como autovalores reais.

Resposta

O único autovalor real é
lambda=1
e os autovetores reais correspondentes são todos os múltiplos de
(1,1,1)

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