Encontre os autovalores e autovetores associados dos operadores lineares T: V longrightarrow V e matrizes em M(n, n) seguintes:
A=(rr5 & 3 3 & -3),

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = 5 & 33 & -3
O conteúdo aqui é valores próprios: primeiro encontramos os autovalores resolvendo
detl(A - lambda Ir)=0,
depois, para cada autovalor lambda, achamos os autovetores como vetores não nulos que satisfazem
l(A - lambda Ir)v = 0

Passo 2

Montamos o determinante de A - lambda I:
A - lambda I = 5-lambda & 33 & -3-lambda,
então
detl(A - lambda Ir) = (5-lambda)(-3-lambda) - 3cdot 3

Passo 3

Calculamos a expressão do determinante e igualamos a zero:
(5-lambda)(-3-lambda) -9 = -15 -5lambda +3lambda +lambda^2 -9 = lambda^2 -2lambda -24
Logo, a equação característica é
lambda^2 - 2lambda - 24 = 0,
cuja solução é
lambda = 2 pm raiz4 + 962 = 2 pm 102,
isto é,
lambda1 = 6 e lambda2 = -4.

Passo 4

Agora achamos os autovetores.
Para , resolvemos
A primeira linha dá , ou seja . Um autovetor associado é
(escolhendo ).
Para , resolvemos
Da primeira linha segue . Um autovetor associado é
.

Resposta

lambda1 = 6, autovetor ,(3,1).
lambda2 = -4, autovetor ,(1,-3).

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