Calcule os autovalores reais e respectivos autovetores para as seguintes matrizes de rotação:
(a) Rotação de ângulo \theta em torno do eixo z no \mathbb{R}^{3} :
O enunciado pede os autovalores reais e autovetores da matriz de rotação de ângulo \theta em torno do eixo z em \mathbb{R}^{3}. Vamos usar o polinômio característico \det(A - \lambda I) para encontrar esses autovalores reais e, em seguida, resolver (A - \lambda I)v=0 para obter os autovetores.
essas equações forçam x=0 e y=0, enquanto z fica livre. Assim o espaço próprio real é gerado por \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Resposta
O único autovalor real é \lambda = 1
e o subespaço próprio correspondente é \bigl\{\alpha(0,0,1) : \alpha\in\mathbb{R}\bigr\}, ou seja, os autovetores são todos os múltiplos de \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.