Calcule os autovalores reais e respectivos autovetores para as seguintes matrizes de rotação:
(a) Rotação de ângulo \theta em torno do eixo z no \mathbb{R}^{3} :
\left(\begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede os autovalores reais e autovetores da matriz de rotação de ângulo \theta em torno do eixo z em \mathbb{R}^{3}. Vamos usar o polinômio característico \det(A - \lambda I) para encontrar esses autovalores reais e, em seguida, resolver (A - \lambda I)v=0 para obter os autovetores.

Passo 2

Seja
A = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)\bigl[(\cos\theta - \lambda)^2 + \sin^2\theta\bigr]

Passo 3

Para \det(A - \lambda I)=0 temos
(1-\lambda)\bigl[(\cos\theta - \lambda)^2 + \sin^2\theta\bigr]=0
Logo as raízes são
\lambda_1 = 1
e as outras vêm de
(\cos\theta - \lambda)^2 + \sin^2\theta = 0
que dá \lambda = \cos\theta \pm i\sin\theta, complexas. Portanto o único autovalor real é
\lambda = 1.

Passo 4

Para \lambda=1 resolvemos
(A - I)v = \begin{pmatrix} \cos\theta - 1 & -\sin\theta & 0 \\\ \sin\theta & \cos\theta - 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = 0
Das duas primeiras linhas isoladamente:
(\cos\theta -1)x - \sin\theta\,y = 0
\sin\theta\,x + (\cos\theta -1)y = 0
essas equações forçam x=0 e y=0, enquanto z fica livre. Assim o espaço próprio real é gerado por
\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

O único autovalor real é
\lambda = 1
e o subespaço próprio correspondente é
\bigl\{\alpha(0,0,1) : \alpha\in\mathbb{R}\bigr\}, ou seja, os autovetores são todos os múltiplos de \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

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