Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares e matrizes:
(k) A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 1 \\\\ 12 & 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 1 \\\\ 12 & 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
O conteúdo que vamos usar é: definição de autovalor e autovetor, que vêm da equação
A v = \lambda\,v,
e cálculo do polinômio característico \det(A - \lambda I)=0.

Passo 2

Observamos que A preserva os subespaços \mathrm{span}\{e_1,e_3\} e \mathrm{span}\{e_2,e_4\}. Se reordenarmos a base como (e_1,e_3,e_2,e_4), A fica em blocos
B_1 = \begin{pmatrix}2&1\\\ 12&3\end{pmatrix},\quad B_2 = \begin{pmatrix}2&1\\\ -1&0\end{pmatrix}
sobre esses pares de coordenadas.

Passo 3

Para B_1 calculamos
\det\bigl(B_1-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix}2-\lambda&1\\\ 12&3-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)(3-\lambda)-12 =\lambda^2-5\lambda-6.
As raízes são
\lambda = \frac{5\pm\sqrt{25+24}}{2} = \frac{5\pm7}{2},
isto é \lambda=6 e \lambda=-1.
— Para \lambda=6:
(B_1-6I)\,(x_1,x_3)^T =0 \;\Longrightarrow\;-4x_1+x_3=0\; \Longrightarrow\;x_3=4x_1,
autovetor em \R^4: (1,0,4,0)^T.
— Para \lambda=-1:
(B_1+I)\,(x_1,x_3)^T =0 \;\Longrightarrow\;3x_1+x_3=0\; \Longrightarrow\;x_3=-3x_1,
autovetor: (1,0,-3,0)^T.

Passo 4

Para B_2 temos
\det\bigl(B_2-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix}2-\lambda&1\\\ -1&-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)(-\lambda)+1 =\lambda^2-2\lambda+1=(\lambda-1)^2.
Então \lambda=1 é raiz dupla. O autovetor satisfaz
(B_2-I)\,(x_2,x_4)^T=0 \;\Longrightarrow\;x_2+x_4=0 \;\Longrightarrow\;x_4=-x_2,
e em \R^4 obtemos o autovetor (0,1,0,-1)^T. A multiplicidade geométrica é 1.

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
\lambda=6, autovetor \,(1,0,4,0)^T.
\lambda=-1, autovetor \,(1,0,-3,0)^T.
\lambda=1 (algébrica 2, geométrica 1), autovetor \,(0,1,0,-1)^T.

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