Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares e matrizes:
(h) A=\left(\begin{array}{cc}5 & 3 \\\\ 3 & -3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e os autovetores da transformação linear em \mathbb{R}^2 cuja matriz, na base canônica, é
A = \begin{pmatrix}5 & 3 \\[0.3em] 3 & -3\end{pmatrix}.
O conteúdo principal aqui é resolver o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 para achar os autovalores \lambda e, em seguida, resolver (A-\lambda I)v=0 para obter cada autovetor v.]

Passo 2

Formamos o polinômio característico calculando o determinante
\det\!\begin{pmatrix}5-\lambda & 3 \\[0.3em] 3 & -3-\lambda\end{pmatrix} = (5-\lambda)(-3-\lambda) - 3\cdot 3 = \lambda^2 - 2\lambda - 24.
Logo, o polinômio característico é
\lambda^2 - 2\lambda - 24 = 0.]

Passo 3

Resolvendo \lambda^2 - 2\lambda - 24 = 0 pela fórmula de Bhaskara,
\lambda = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-24)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} = \frac{2 \pm 10}{2},
obtemos
\lambda_1 = 6 \quad\text{e}\quad \lambda_2 = -4.

Passo 4

Para \lambda_1 = 6, resolvemos (A - 6I)v = 0.
A - 6I = \begin{pmatrix}5-6 & 3 \\[0.3em] 3 & -3-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 3 \\[0.3em] 3 & -9\end{pmatrix}.
A equação (-1)x + 3y = 0 leva a x = 3y. Tomando y=1, um autovetor correspondente é
v_1 = \begin{pmatrix}3 \\[0.3em] 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda_2 = -4, resolvemos (A + 4I)v = 0.
A + 4I = \begin{pmatrix}5+4 & 3 \\[0.3em] 3 & -3+4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9 & 3 \\[0.3em] 3 & 1\end{pmatrix}.
A equação 9x + 3y = 0 leva a y = -3x. Tomando x=1, um autovetor correspondente é
v_2 = \begin{pmatrix}1 \\[0.3em] -3\end{pmatrix}.]

Resposta

\lambda_1 = 6,\quad v_1 = \begin{pmatrix}3 \\[0.3em] 1\end{pmatrix}; \qquad \lambda_2 = -4,\quad v_2 = \begin{pmatrix}1 \\[0.3em] -3\end{pmatrix}.]

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