QUESTÃO 3. (20 Pts) Resolva os sistemas e classifique-os.
\left\{\begin{array}{c}-x+y+z=0 \\\\ 2 x+3 y+z=0 \\\\ 3 x+4 y-2 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo
\begin{cases} -x+y+z=0,\\[4pt] 2x+3y+z=0,\\[4pt] 3x+4y-2z=0. \end{cases}
O que se pede:
  1. Resolver o sistema (ou seja, encontrar todos os valores de (x,y,z) que satisfazem as três equações).
  2. Classificar o sistema (indicar se tem única solução, infinitas soluções ou é impossível, e justificar).]

Passo 2

Estratégia: como o sistema é homogêneo (lado direito igual a zero), sabemos que a solução trivial (0,0,0) sempre existe. Para decidir se há outras soluções (ou seja, se há solução não trivial), vamos reduzir o sistema por eliminação de Gauss para ver se as três incógnitas ficam determinadas por pivôs independentes. Alternativamente, poderíamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes: se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e a única solução é a trivial. Vou fazer as duas coisas de forma didática: primeiro a eliminação (passo a passo) e depois comentar pelo determinante.

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada inicial (vou separar as equações para facilitar):
\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 & \vline & 0\\[4pt] 2 & 3 & 1 & \vline & 0\\[4pt] 3 & 4 & -2 & \vline & 0 \end{pmatrix}.
Para eliminar mais facilmente o x, começo transformando a primeira linha para ter pivô 1. Multiplico a primeira linha por -1:
R_1 \leftarrow -R_1 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & \vline & 0\\[4pt] 2 & 3 & 1 & \vline & 0\\[4pt] 3 & 4 & -2 & \vline & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Elimino o x das outras linhas usando R_1.
Calcule R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
R_2: \\ (2,\,3,\,1) - 2\cdot(1,\,-1,\,-1) = (0,\,3+2,\,1+2)=(0,\,5,\,3).
Calcule R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1:
R_3: \\ (3,\,4,\,-2) - 3\cdot(1,\,-1,\,-1)=(0,\,4+3,\,-2+3)=(0,\,7,\,1).
A matriz aumentada fica
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & \vline & 0\\[4pt] 0 & 5 & 3 & \vline & 0\\[4pt] 0 & 7 & 1 & \vline & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora usamos a segunda linha para eliminar o coeficiente de y na terceira linha. Podemos fazer
R_3 \leftarrow R_3 - \frac{7}{5}R_2.
Calculando componente a componente para a parte de incógnitas:
(0,\,7,\,1) - \frac{7}{5}(0,\,5,\,3) = (0,\,7-7,\,1-\tfrac{21}{5})=(0,\,0,\,1-\tfrac{21}{5}).
Compute 1-\tfrac{21}{5}=\tfrac{5}{5}-\tfrac{21}{5}=-\tfrac{16}{5}. Assim a terceira linha vira
(0,\,0,\,-\tfrac{16}{5}\,|\,0).
Multiplicando essa linha por 5 (operações escalares são permitidas para facilitar a leitura) obtemos um pivô claro em z:
(0,\,0,\,-16\,|\,0).
A matriz em forma escalonada é essencialmente
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & \vline & 0\\[4pt] 0 & 5 & 3 & \vline & 0\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{16}{5} & \vline & 0 \end{pmatrix},
onde vemos três pivôs (um em cada coluna de incógnitas).]

Passo 6

A partir da forma escalonada lemos as equações equivalentes:
  • Da terceira linha: -\tfrac{16}{5} z = 0 \Rightarrow z=0.
  • Da segunda linha: 5y+3z=0. Como z=0, temos 5y=0 \Rightarrow y=0.
  • Da primeira linha: x - y - z =0. Como y=0 e z=0, temos x=0.
Portanto a única solução é (x,y,z)=(0,0,0).

Passo 7

Interpretação e classificação: a matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 3 & 1\\[4pt] 3 & 4 & -2\end{pmatrix}
tem posto (rank) igual a 3 porque na eliminação encontramos pivôs nas três colunas; isso significa que as três equações são linearmente independentes. Em particular, A é invertível. Podemos confirmar calculando o determinante: procedendo por expansão (ou pela regra de Sarrus), encontra-se \det(A)=16\neq0. Quando \det(A)\neq0 o sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} tem apenas a solução trivial. Logo o sistema é determinado e consistente, com única solução (0,0,0).]

Resposta

A única solução é (0,0,0).
Classificação: sistema homogêneo determinado (posto 3, \det(A)=16\neq0, única solução trivial).

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