QUESTÃO 4. (15 Pts) Verifique se o conjunto \mathrm{S}=\{(2,3,-2),(-1,2,-1),(8,14,-8)\} é L.I ou L.D.
Passo 1
O problema pede para verificar se o conjunto S=\{(2,3,-2),(-1,2,-1),(8,14,-8)\} é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.).\n
Informações dadas:
Definição e estratégia (passo-a-passo didático):\n
Dizemos que os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes se existem escalares \alpha,\beta,\gamma, não todos nulos, tais que
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0.
Caso a única solução seja \alpha=\beta=\gamma=0, então os vetores são linearmente independentes.\n
Para três vetores em \mathbb{R}^3 uma forma muito direta de testar independência é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e a única solução da equação acima é a trivial, logo os vetores são L.I.; se o determinante for zero, são L.D.\n
Escolhi este método porque é direto, requer apenas cálculo algébrico (sem sistemas longos) e é adequado para três vetores em \mathbb{R}^3.
Passo 3
Montamos a matriz M cujas colunas são v_1,v_2,v_3: