QUESTÃO 4. (15 Pts) Verifique se o conjunto \mathrm{S}=\{(2,3,-2),(-1,2,-1),(8,14,-8)\} é L.I ou L.D.

Passo 1

O problema pede para verificar se o conjunto S=\{(2,3,-2),(-1,2,-1),(8,14,-8)\} é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.).\n
Informações dadas:
v_1=(2,3,-2),\qquad v_2=(-1,2,-1),\qquad v_3=(8,14,-8).

Passo 2

Definição e estratégia (passo-a-passo didático):\n
  • Dizemos que os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes se existem escalares \alpha,\beta,\gamma, não todos nulos, tais que
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0.
Caso a única solução seja \alpha=\beta=\gamma=0, então os vetores são linearmente independentes.\n
  • Para três vetores em \mathbb{R}^3 uma forma muito direta de testar independência é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e a única solução da equação acima é a trivial, logo os vetores são L.I.; se o determinante for zero, são L.D.\n
    Escolhi este método porque é direto, requer apenas cálculo algébrico (sem sistemas longos) e é adequado para três vetores em \mathbb{R}^3.

Passo 3

Montamos a matriz M cujas colunas são v_1,v_2,v_3:
M=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 8\\[4pt] 3 & 2 & 14\\[4pt] -2 & -1 & -8 \end{pmatrix}.
Vamos calcular \det(M). Se \det(M)\neq 0 concluímos L.I.; se \det(M)=0 concluímos L.D.]

Passo 4

Cálculo do determinante por expansão na primeira linha (mostrando cada passo):\n
\det(M)=2\cdot\begin{vmatrix}2 & 14\\[4pt]-1 & -8\end{vmatrix} -(-1)\cdot\begin{vmatrix}3 & 14\\[4pt]-2 & -8\end{vmatrix} +8\cdot\begin{vmatrix}3 & 2\\[4pt]-2 & -1\end{vmatrix}.
Agora calculamos cada determinante 2\times2 separadamente:\n
Primeiro:
\begin{vmatrix}2 & 14\\[4pt]-1 & -8\end{vmatrix} =2\cdot(-8)-14\cdot(-1)=-16+14=-2.
Segundo:
\begin{vmatrix}3 & 14\\[4pt]-2 & -8\end{vmatrix} =3\cdot(-8)-14\cdot(-2)=-24+28=4.
Terceiro:
\begin{vmatrix}3 & 2\\[4pt]-2 & -1\end{vmatrix} =3\cdot(-1)-2\cdot(-2)=-3+4=1.]

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão de \det(M):
\det(M)=2\cdot(-2)-(-1)\cdot(4)+8\cdot(1).
Agora fazemos as multiplicações e somas passo a passo:
2\cdot(-2)=-4,
-(-1)\cdot(4)=+4,
8\cdot(1)=8.
Somando:
\det(M)=-4+4+8=8.
Portanto \det(M)=8\neq 0.

Passo 6

Interpretação e conclusão didática:\n
Como \det(M)\neq 0, a matriz M é invertível. Isso significa que a única solução do sistema
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0
é \alpha=\beta=\gamma=0. Pelo que vimos na definição, isso implica que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Linearmente independente.

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