Calcule:
(b) \iint_{a} f(x, y, z) d S sendo f(x, y, z)=x^{2}+y^{2} e \sigma a parte da superfície z=x^{2}+y^{2} situada abaixo do plano z=9.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • A função é f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}.
  • A superfície \sigma é a parte da parábola z=x^{2}+y^{2} situada abaixo do plano z=9.
  • A região de projeção no plano xy correspondente é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\}.
    O que o enunciado pede: calcular a integral de superfície
\iint_{\sigma} f(x,y,z)\,dS.

Passo 2

Relembrando a fórmula que vamos usar (explicação didática). Se a superfície é dada como gráfico z=g(x,y) então a integral de uma função escalar f sobre essa superfície é transformada numa integral dupla sobre a projeção D no plano xy por
\iint_{\sigma} f(x,y,z)\,dS=\iint_{D} f\bigl(x,y,g(x,y)\bigr)\sqrt{1+g_x(x,y)^2+g_y(x,y)^2}\;dA.
O que isso significa, passo a passo:
  • g_x e g_y são as derivadas parciais de g em relação a x e y; elas medem a inclinação da superfície.
  • A raiz \sqrt{1+g_x^2+g_y^2} converte a área infinitesimal do plano dA na área infinitesimal real da superfície dS.
  • f(x,y,g(x,y)) é simplesmente avaliar a função dada na superfície.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso. Aqui g(x,y)=x^{2}+y^{2}. Calculamos as derivadas parciais:
g_x(x,y)=2x,\qquad g_y(x,y)=2y.
Logo
\sqrt{1+g_x^{2}+g_y^{2}}=\sqrt{1+(2x)^{2}+(2y)^{2}}=\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}.
Também f\bigl(x,y,g(x,y)\bigr)=x^{2}+y^{2} (mesmo valor, pois f não depende de z além de x,y). Portanto a integral vira
\iint_{\sigma} f\,dS=\iint_{D} (x^{2}+y^{2})\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}\;dA,
onde D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\}.

Passo 4

Converter para coordenadas polares (motivo: integranda e região são radiais). Em polares usamos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dA=r\,dr\,d\theta.
Além disso x^{2}+y^{2}=r^{2} e 1+4x^{2}+4y^{2}=1+4r^{2}. Assim a integranda fica
(x^{2}+y^{2})\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}=r^{2}\sqrt{1+4r^{2}},
e multiplicando por dA obtemos r^{2}\sqrt{1+4r^{2}}\cdot r\,dr\,d\theta=r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\,dr\,d\theta.
A região D em polares é 0\le r\le 3, 0\le\theta\le 2\pi.

Passo 5

Montando a integral em polares:
\iint_{\sigma} f\,dS=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{3} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\;dr\,d\theta.
Como o integrando não depende de \theta, a integral em \theta 2\pi. Portanto
\iint_{\sigma} f\,dS=2\pi\int_{0}^{3} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\;dr.

Passo 6

Calcular a integral radial com uma substituição conveniente. Tome
u=1+4r^{2}\quad\Rightarrow\quad du=8r\,dr.
Queremos expressar r^{3}\,dr em termos de u. Escrevemos r^{3}\,dr=r^{2}\cdot r\,dr. Como r^{2}=(u-1)/4 e r\,dr=du/8, obtemos
r^{3}\,dr=\frac{u-1}{4}\cdot\frac{du}{8}=\frac{u-1}{32}\,du.
Os limites: quando r=0, u=1; quando r=3, u=1+4\cdot 9=37. Substituindo na integral:
2\pi\int_{0}^{3} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\,dr =2\pi\int_{u=1}^{37}\frac{u-1}{32}\sqrt{u}\;du =\frac{2\pi}{32}\int_{1}^{37}\bigl(u^{3/2}-u^{1/2}\bigr)\;du.

Passo 7

Integrar as potências de u. Sabemos que
\int u^{3/2}\,du=\frac{2}{5}u^{5/2},\qquad \int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Então
\frac{2\pi}{32}\int_{1}^{37}\bigl(u^{3/2}-u^{1/2}\bigr)du =\frac{2\pi}{32}\left[\frac{2}{5}u^{5/2}-\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{37}.
Simplificando constantes: \dfrac{2\pi}{32}\cdot 2=\dfrac{\pi}{8}. Assim
\iint_{\sigma} f\,dS=\frac{\pi}{8}\left[\frac{1}{5}u^{5/2}-\frac{1}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{37}.

Passo 8

Avaliar no intervalo u\in[1,37]. Substituindo e simplificando o termo oriundo do limite inferior ( u=1):
\iint_{\sigma} f\,dS=\frac{\pi}{8}\Biggl(\frac{1}{5}37^{5/2}-\frac{1}{3}37^{3/2}-\bigl(\tfrac{1}{5}\cdot1^{5/2}-\tfrac{1}{3}\cdot1^{3/2}\bigr)\Biggr).
Como 1^{5/2}=1^{3/2}=1, o parêntese final é \tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{3}=-\tfrac{2}{15}. Portanto subtrair esse parêntese equivale a somar \tfrac{2}{15}. Logo uma forma compacta é
\iint_{\sigma} f\,dS=\frac{\pi}{8}\left(\frac{1}{5}37^{5/2}-\frac{1}{3}37^{3/2}+\frac{2}{15}\right).
(se desejar, pode também escrever factorizando 37^{3/2}: \dfrac{\pi}{8}\bigl(37^{3/2}(\tfrac{37}{5}-\tfrac{1}{3})+\tfrac{2}{15}\bigr).)

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{8}\left(\frac{1}{5}37^{5/2}-\frac{1}{3}37^{3/2}+\frac{2}{15}\right)\\ \approx\\\ 624,6

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