Calcule:
(b)
sendo
e
a parte da superfície
situada abaixo do plano
.
(b)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- A função é
. - A superfície
é a parte da parábola situada abaixo do plano . - A região de projeção no plano
correspondente é o disco .
O que o enunciado pede: calcular a integral de superfície
Passo 2
Relembrando a fórmula que vamos usar (explicação didática). Se a superfície é dada como gráfico
então a integral de uma função escalar
sobre essa superfície é transformada numa integral dupla sobre a projeção
no plano
por
O que isso significa, passo a passo:
-
e são as derivadas parciais de em relação a e ; elas medem a inclinação da superfície. - A raiz
converte a área infinitesimal do plano na área infinitesimal real da superfície . -
é simplesmente avaliar a função dada na superfície.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso. Aqui
. Calculamos as derivadas parciais:
Logo
Também
(mesmo valor, pois
não depende de
além de
). Portanto a integral vira
onde
.
Passo 4
Converter para coordenadas polares (motivo: integranda e região são radiais). Em polares usamos
Além disso
e
. Assim a integranda fica
e multiplicando por
obtemos
.
A região em polares é
,
.
A região
Passo 5
Montando a integral em polares:
Como o integrando não depende de
, a integral em
dá
. Portanto
Passo 6
Calcular a integral radial com uma substituição conveniente. Tome
Queremos expressar
em termos de
. Escrevemos
. Como
e
, obtemos
Os limites: quando
,
; quando
,
. Substituindo na integral:
Passo 7
Integrar as potências de
. Sabemos que
Então
Simplificando constantes:
. Assim
Passo 8
Avaliar no intervalo
. Substituindo e simplificando o termo oriundo do limite inferior (
):
Como
, o parêntese final é
. Portanto subtrair esse parêntese equivale a somar
. Logo uma forma compacta é
(se desejar, pode também escrever factorizando
:
.)