Calcule
(b) Determine a integral de linha \int_{\gamma} \vec{F} d \gamma em que \vec{F}(x, y, z)=(x,-y, z) e \gamma é a curva obtida pela intesecção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e o plano z=\frac{\sqrt{2}}{2} orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado dá:
  • O campo vetorial \vec{F}(x,y,z) = (x,\,-y,\,z).
  • A curva \gamma é a interseção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 com o plano z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • A orientação da curva é no sentido anti-horário.
O que é pedido:
  • Calcular a integral de linha \displaystyle \int_{\gamma} \vec{F}\,d\gamma.

Passo 2

Encontrar a geometria da curva (raio e posição): a curva é um círculo em um plano paralelo ao plano xy com altura constante z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Na esfera vale
x^{2}+y^{2} = 1 - z^{2}.
Substituindo z=\dfrac{\sqrt{2}}{2} temos
x^{2}+y^{2} = 1 - \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} = 1 - \dfrac{2}{4} = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}.
Logo o círculo tem centro na origem (na altura z dada) e raio
r=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Escolher uma parametrização compatível com a orientação anti-horária: para um plano com z positivo, o sentido anti-horário visto de cima (eixo +z) corresponde a usar o parâmetro \,t crescente de 0 a 2\pi. Uma parametrização conveniente é
\gamma(t)=\bigl(x(t),\,y(t),\,z(t)\bigr)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos t,\;\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin t,\;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right), \qquad 0\le t\le 2\pi.
Isto descreve o círculo de raio \dfrac{1}{\sqrt{2}} em z=\dfrac{\sqrt{2}}{2} com orientação anti-horária.

Passo 4

Calcular o vetor tangente \gamma'(t) (que aparece em d\gamma): derivando componente a componente,
\gamma'(t)=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin t,\;\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos t,\;0\right).

Passo 5

Avaliar o campo \vec{F} ao longo da curva: substituir \gamma(t) em \vec{F}:
\vec{F}(\gamma(t))=\left(x(t),\,-y(t),\,z(t)\right) =\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos t,\;-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin t,\;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).

Passo 6

Montar o produto escalar \vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) e integrar:
Calcule o produto escalar:
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) =\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos t\right)\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin t\right) +\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin t\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos t\right) +\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot 0.
Simplificando os termos:
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) =-\dfrac{1}{2}\cos t\sin t - \dfrac{1}{2}\sin t\cos t =-\dfrac{1}{2}\cdot 2\sin t\cos t =-\dfrac{1}{2}\sin 2t.
Portanto a integral de linha é
\int_{\gamma}\vec{F}\,d\gamma =\int_{0}^{2\pi} \vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt =\int_{0}^{2\pi} \left(-\dfrac{1}{2}\sin 2t\right)\,dt.
Integrando:
\int_{0}^{2\pi} \sin 2t\,dt = \left[-\dfrac{1}{2}\cos 2t\right]_{0}^{2\pi} = -\dfrac{1}{2}\bigl(\cos(4\pi)-\cos 0\bigr)= -\dfrac{1}{2}(1-1)=0.
Multiplicando pelo fator -\dfrac{1}{2} obtém-se zero.

Passo 7

Interpretação curta (motivações): o integrando é uma função periódica com período que dá soma nula no intervalo completo 0 a 2\pi, por isso a integral ao longo do círculo fecha em zero. Isso confirma o cálculo direto acima.

Resposta

0

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