Calcule
(b) Determine a integral de linha
em que
e
é a curva obtida pela intesecção da esfera
e o plano
orientado no sentido anti-horário.
(b) Determine a integral de linha
Passo 1
O enunciado dá:
- O campo vetorial
. - A curva
é a interseção da esfera com o plano . - A orientação da curva é no sentido anti-horário.
O que é pedido:
- Calcular a integral de linha
.
Passo 2
Encontrar a geometria da curva (raio e posição): a curva é um círculo em um plano paralelo ao plano
com altura constante
. Na esfera vale
Substituindo
temos
Logo o círculo tem centro na origem (na altura
dada) e raio
Passo 3
Escolher uma parametrização compatível com a orientação anti-horária: para um plano com
positivo, o sentido anti-horário visto de cima (eixo
) corresponde a usar o parâmetro
crescente de
a
. Uma parametrização conveniente é
Isto descreve o círculo de raio
em
com orientação anti-horária.
Passo 4
Calcular o vetor tangente
(que aparece em
): derivando componente a componente,
Passo 5
Avaliar o campo
ao longo da curva: substituir
em
:
Passo 6
Montar o produto escalar
e integrar:
Calcule o produto escalar:
Calcule o produto escalar:
Simplificando os termos:
Portanto a integral de linha é
Integrando:
Multiplicando pelo fator
obtém-se zero.
Passo 7
Interpretação curta (motivações): o integrando é uma função periódica com período que dá soma nula no intervalo completo
a
, por isso a integral ao longo do círculo fecha em zero. Isso confirma o cálculo direto acima.