Resolva a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede que se resolva a equação diferencial
onde
e a incógnita é a função
.
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- A equação envolve a variável independente
e a função . - O símbolo
significa . - Será preciso obter a solução geral
(contendo uma constante de integração). - Atenção: a equação contém um fator
multiplicando , por isso há que cuidar do caso ao manipular (divisões por ) — isso será tratado durante a resolução.
Passo 2
Primeiro, escrevemos explicitamente a derivada:
Para
podemos dividir ambos os lados da equação original por
. Fazendo isso obtemos
(Observação: a divisão por
não é válida se
; o caso
será comentado depois.)
Passo 3
Agora separamos as variáveis: colocamos os termos que dependem de
num lado e os que dependem de
no outro. Multiplicando por
e isolando:
Explicação didática: separar variáveis significa reescrever a equação de modo que a parte em
fique apenas com
e a parte em
fique apenas com
; assim podemos integrar cada lado em sua variável correspondente.
Passo 4
Integramos ambos os lados. Ao integrar, lembre que a integral em
trata
como constante e a integral em
trata
como constante:
Usando a regra do poder para integrais (para
,
) e a linearidade da integral, obtemos
onde
é a constante de integração (um número real arbitrário).
Passo 5
Multiplicamos por
para simplificar e isolamos
:
onde
é outra constante arbitrária (pode-se renomear simplesmente para
). Tomando a raiz cúbica em ambos os lados (a raiz cúbica real está definida para todo número real), obtemos a solução explícita:
com
constante arbitrária.
Passo 6
Tratamento do caso
e verificação de consistência:
- Na equação original, se
o lado esquerdo é (porque há um fator ) e o lado direito também é ; então a identidade não impõe condição sobre . Ou seja, o ponto não cria contradição e a solução encontrada pode ser estendida a escolhendo a constante de modo que seja o valor desejado. - Não existem soluções constantes
que satisfaçam a equação para todo , pois isso exigiria para todo , o que é falso. - A solução
é válida para todo (raiz cúbica real), para qualquer constante real .
Passo 7
Verificação rápida (checar que a solução satisfaz a equação): partir de
diferenciando ambos os lados em relação a
dá
Multiplicando por
recupera-se a equação original:
Portanto a solução está correta.