Resolva a equação diferencial.
x y^{2} y^{\prime}=x+x^{3}

Passo 1

O enunciado pede que se resolva a equação diferencial
x y^{2} y' = x + x^{3},
onde y'= \dfrac{dy}{dx} e a incógnita é a função y(x).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A equação envolve a variável independente x e a função y(x).
  • O símbolo y' significa \dfrac{dy}{dx}.
  • Será preciso obter a solução geral y(x) (contendo uma constante de integração).
  • Atenção: a equação contém um fator x multiplicando y^{2}y', por isso há que cuidar do caso x=0 ao manipular (divisões por x) — isso será tratado durante a resolução.

Passo 2

Primeiro, escrevemos explicitamente a derivada:
y'=\frac{dy}{dx}.
Para x\neq 0 podemos dividir ambos os lados da equação original por x. Fazendo isso obtemos
y^{2}\frac{dy}{dx}=1+x^{2}.
(Observação: a divisão por x não é válida se x=0; o caso x=0 será comentado depois.)

Passo 3

Agora separamos as variáveis: colocamos os termos que dependem de y num lado e os que dependem de x no outro. Multiplicando por dx e isolando:
y^{2}\,dy = (1+x^{2})\,dx.
Explicação didática: separar variáveis significa reescrever a equação de modo que a parte em y fique apenas com dy e a parte em x fique apenas com dx; assim podemos integrar cada lado em sua variável correspondente.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Ao integrar, lembre que a integral em y trata x como constante e a integral em x trata y como constante:
\int y^{2}\,dy = \int (1+x^{2})\,dx.
Usando a regra do poder para integrais (para n\neq -1, \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}) e a linearidade da integral, obtemos
\frac{y^{3}}{3} = x + \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração (um número real arbitrário).

Passo 5

Multiplicamos por 3 para simplificar e isolamos y:
y^{3} = x^{3} + 3x + C_{1},
onde C_{1}=3C é outra constante arbitrária (pode-se renomear simplesmente para C). Tomando a raiz cúbica em ambos os lados (a raiz cúbica real está definida para todo número real), obtemos a solução explícita:
y(x)=\sqrt[3]{x^{3}+3x+C},
com C\in\mathbb{R} constante arbitrária.

Passo 6

Tratamento do caso x=0 e verificação de consistência:
  • Na equação original, se x=0 o lado esquerdo é 0 (porque há um fator x) e o lado direito também é 0; então a identidade 0=0 não impõe condição sobre y(0). Ou seja, o ponto x=0 não cria contradição e a solução encontrada pode ser estendida a x=0 escolhendo a constante C de modo que y(0)=\sqrt[3]{C} seja o valor desejado.
  • Não existem soluções constantes y(x)\equiv y_{0} que satisfaçam a equação para todo x, pois isso exigiria 0=x+x^{3} para todo x, o que é falso.
  • A solução \;y(x)=\sqrt[3]{x^{3}+3x+C}\; é válida para todo x\in\mathbb{R} (raiz cúbica real), para qualquer constante real C.

Passo 7

Verificação rápida (checar que a solução satisfaz a equação): partir de
y^{3}=x^{3}+3x+C
diferenciando ambos os lados em relação a x
3y^{2}y' = 3x^{2}+3 \quad\Rightarrow\quad y^{2}y' = x^{2}+1.
Multiplicando por x recupera-se a equação original:
x y^{2} y' = x + x^{3}.
Portanto a solução está correta.

Resposta

y(x)=\sqrt[3]{\,x^{3}+3x+C\,},\qquad C\in\mathbb{R}

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