Encontrar as direções nas quais a função f(x, y)=x y, no ponto ( 1,1 ):
  • cresce e decresce mais rapidamente;
  • não apresenta variação instantânea.
Em cada um dos itens acima, determinar a taxa de variação instantânea da função na direção e no sentido encontrados.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=xy e o ponto (1,1). Pede:
  • Em que direções a função cresce mais rapidamente e decresce mais rapidamente no ponto (1,1);
  • Em que direções não há variação instantânea (direções em que a derivada direcional é zero);
  • Para cada direção/sentido pedido, determinar a taxa de variação instantânea (ou seja, o valor da derivada direcional) na direção e no sentido encontrados.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função: f(x,y)=xy.
  • O ponto onde se avalia: (1,1).

Passo 2

Vamos lembrar (com calma e passo a passo) o conceito que vamos usar: derivada direcional e gradiente.
  • A derivada direcional de f no ponto (x_0,y_0) na direção de um vetor unitário u é dada por
D_{u}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot u.
Explicando: \nabla f(x_0,y_0) é o vetor gradiente (mostra as taxas de variação em cada eixo) e \cdot é o produto escalar. O resultado é um número que diz a taxa instantânea de variação de f quando se anda no sentido de u.
  • É importante que u seja um vetor unitário ( \|u\|=1), porque a derivada direcional é definida por unidade de deslocamento na direção dada. Se tivéssemos um vetor não-unitário, o produto escalar daria uma taxa proporcional ao comprimento do vetor.

Passo 3

Calcular o gradiente de f. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) é a taxa de variação de f em relação a x, tratando y como constante.
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) é a taxa de variação de f em relação a y, tratando x como constante.
Para f(x,y)=xy:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x.
Logo o gradiente é
\nabla f(x,y)=(y,x).
(Na prática: derivada de xy em relação a x é y; em relação a y é x.)

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (1,1). Substituindo x=1 e y=1 em \nabla f(x,y)=(y,x), obtemos
\nabla f(1,1)=(1,1).
Calcular a norma (magnitude) desse gradiente:
\|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.
Interpretação: o vetor \nabla f(1,1) aponta na direção de máximo crescimento instantâneo de f no ponto, e a taxa máxima de crescimento é exatamente \|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{2}.

Passo 5

Direção de crescimento mais rápido (sentido do gradiente).
  • A direção (vetor unitário) nessa qual f cresce mais rapidamente é o vetor unitário na direção de \nabla f(1,1):
u_{\text{max}}=\frac{\nabla f(1,1)}{\|\nabla f(1,1)\|}=\frac{(1,1)}{\sqrt{2}}.
  • A taxa de variação instantânea nessa direção é
D_{u_{\text{max}}}f(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot u_{\text{max}}=\|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{2}.
Cálculo explícito do produto escalar:
(1,1)\cdot\frac{(1,1)}{\sqrt{2}}=\frac{1\cdot1+1\cdot1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.

Passo 6

Direção de decrescimento mais rápido (sentido oposto ao gradiente).
  • A direção onde f decresce mais rapidamente é o oposto do gradiente (vetor unitário):
u_{\text{min}}=-\frac{(1,1)}{\sqrt{2}}=\frac{(-1,-1)}{\sqrt{2}}.
  • A taxa de variação instantânea nessa direção é
D_{u_{\text{min}}}f(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot u_{\text{min}}=-\|\nabla f(1,1)\|=-\sqrt{2}.
Interpretação: o valor negativo indica que f diminui ao se mover nesse sentido, e a magnitude \sqrt{2} é a maior taxa (em módulo) possível.

Passo 7

Direções em que não há variação instantânea (derivada direcional zero).
  • Essas são exatamente as direções ortogonais (perpendiculares) ao gradiente, pois se u satisfaz \nabla f(1,1)\cdot u=0 então D_u f(1,1)=0.
  • Com \nabla f(1,1)=(1,1), a condição (1,1)\cdot (a,b)=0 a+b=0, ou seja b=-a.
  • Vetores unitários com essa propriedade são
u_{0}^{(1)}=\frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}, \qquad u_{0}^{(2)}=\frac{(-1,1)}{\sqrt{2}}.
  • Em qualquer uma dessas direções a taxa de variação instantânea é
D_{u_{0}}f(1,1)=0.
Interpretação geométrica: essas direções são tangentes às curvas de nível de f que passam por (1,1); andando nelas o valor de f não muda, instantaneamente.

Passo 8

(Ainda um ganho didático rápido — checagem por ângulo) Podemos representar uma direção unitária genérica por u=(\cos\theta,\sin\theta). A derivada direcional em (1,1) é
D_{u}f(1,1)=(1,1)\cdot(\cos\theta,\sin\theta)=\cos\theta+\sin\theta.
  • Maximizar \cos\theta+\sin\theta em \theta dá o máximo \sqrt{2} em \theta=\pi/4, que corresponde a u=(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}) — confirma o passo 5.
  • O mínimo é -\sqrt{2} em \theta=5\pi/4, que corresponde a -u_{\text{max}} — confirma o passo 6.
  • Zeros ocorrem quando \cos\theta+\sin\theta=0, ou \tan\theta=-1, dando \theta=3\pi/4 e \theta=7\pi/4, que correspondem aos vetores \pm\frac{(1,-1)}{\sqrt{2}} — confirma o passo 7.

Resposta

Direção de crescimento mais rápido: \displaystyle \frac{(1,1)}{\sqrt{2}} com taxa \displaystyle \sqrt{2}.
Direção de decrescimento mais rápido: \displaystyle \frac{(-1,-1)}{\sqrt{2}} com taxa \displaystyle -\sqrt{2}.
Direções sem variação instantânea: \displaystyle \frac{(1,-1)}{\sqrt{2}} e \displaystyle \frac{(-1,1)}{\sqrt{2}}, com taxa 0.

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