Encontrar as direções nas quais a função
, no ponto ( 1,1 ):
- cresce e decresce mais rapidamente;
- não apresenta variação instantânea.
Em cada um dos itens acima, determinar a taxa de variação instantânea da função na direção e no sentido encontrados.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. Pede:
- Em que direções a função cresce mais rapidamente e decresce mais rapidamente no ponto
; - Em que direções não há variação instantânea (direções em que a derivada direcional é zero);
- Para cada direção/sentido pedido, determinar a taxa de variação instantânea (ou seja, o valor da derivada direcional) na direção e no sentido encontrados.
Informações relevantes fornecidas:
- A função:
. - O ponto onde se avalia:
.
Passo 2
Vamos lembrar (com calma e passo a passo) o conceito que vamos usar: derivada direcional e gradiente.
- A derivada direcional de
no ponto na direção de um vetor unitário é dada por
Explicando:
é o vetor gradiente (mostra as taxas de variação em cada eixo) e
é o produto escalar. O resultado é um número que diz a taxa instantânea de variação de
quando se anda no sentido de
.
- É importante que
seja um vetor unitário ( ), porque a derivada direcional é definida por unidade de deslocamento na direção dada. Se tivéssemos um vetor não-unitário, o produto escalar daria uma taxa proporcional ao comprimento do vetor.
Passo 3
Calcular o gradiente de
. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
-
é a taxa de variação de em relação a , tratando como constante. -
é a taxa de variação de em relação a , tratando como constante.
Para
:
Logo o gradiente é
(Na prática: derivada de
em relação a
é
; em relação a
é
.)
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
e
em
, obtemos
Calcular a norma (magnitude) desse gradiente:
Interpretação: o vetor
aponta na direção de máximo crescimento instantâneo de
no ponto, e a taxa máxima de crescimento é exatamente
.
Passo 5
Direção de crescimento mais rápido (sentido do gradiente).
- A direção (vetor unitário) nessa qual
cresce mais rapidamente é o vetor unitário na direção de :
- A taxa de variação instantânea nessa direção é
Cálculo explícito do produto escalar:
Passo 6
Direção de decrescimento mais rápido (sentido oposto ao gradiente).
- A direção onde
decresce mais rapidamente é o oposto do gradiente (vetor unitário):
- A taxa de variação instantânea nessa direção é
Interpretação: o valor negativo indica que
diminui ao se mover nesse sentido, e a magnitude
é a maior taxa (em módulo) possível.
Passo 7
Direções em que não há variação instantânea (derivada direcional zero).
- Essas são exatamente as direções ortogonais (perpendiculares) ao gradiente, pois se
satisfaz então . - Com
, a condição dá , ou seja . - Vetores unitários com essa propriedade são
- Em qualquer uma dessas direções a taxa de variação instantânea é
Interpretação geométrica: essas direções são tangentes às curvas de nível de
que passam por
; andando nelas o valor de
não muda, instantaneamente.
Passo 8
(Ainda um ganho didático rápido — checagem por ângulo) Podemos representar uma direção unitária genérica por
. A derivada direcional em
é
- Maximizar
em dá o máximo em , que corresponde a — confirma o passo 5. - O mínimo é
em , que corresponde a — confirma o passo 6. - Zeros ocorrem quando
, ou , dando e , que correspondem aos vetores — confirma o passo 7.
Resposta
Direção de crescimento mais rápido:
com taxa
.
Direção de decrescimento mais rápido:
com taxa
.
Direções sem variação instantânea:
e
, com taxa
.