Calcule.
b) integral0^3 x^2(x+1)^2 d x

Passo 1

Estamos calculando a integral integral0^3 x^2(x+1)^2,dx. O conteúdo principal é integração de funções racionais, e vamos precisar decompor a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Reescrevemos o numerador usando x^2 = (x+1-1)^2. Expandindo, (x+1-1)^2 = (x+1)^2 - 2(x+1) + 1. Assim, aplicando essa expansão na fração, obtemos:
x^2(x+1)^2 = 1 - 2x+1 + 1(x+1)^2

Passo 3

Integramos cada termo separadamente. Sabendo que integral 1,dx = x, integral (x+1)^-1 dx = ln(x+1) e integral (x+1)^-2 dx = -1x+1, temos:
integral x^2(x+1)^2 dx = integral l(1 - 2x+1 + 1(x+1)^2r) dx = x - 2ln(x+1) - 1x+1 + C

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a 3. Definindo F(x)=x - 2ln(x+1) - tfrac1x+1, temos:
F(3) = 3 - 2ln(4) - 14, F(0) = 0 - 2ln(1) - 1 = -1
Logo,
F(3)-F(0) = l(3 - 2ln(4) - tfrac14r) - (-1) = 4 - 2ln(4) - tfrac14 = tfrac154 - 2ln(4) = tfrac154 - 4ln(2)

Resposta

154 - 4ln(2)

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