Usando o Teorema Fundamental da Aritmética, encontre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos pares de números a seguir. Também, encontre o número de divisores positivos de cada um dos números:
348 e-594.

Passo 1

Neste exercício vamos usar o Teorema Fundamental da Aritmética para fatorar os números em primos, depois obter o máximo divisor comum (mdc) pelos expoentes mínimos e o mínimo múltiplo comum (mmc) pelos expoentes máximos, e por fim calcular quantos divisores positivos cada número tem.

Passo 2

Fatoramos o número 348 em primos. Primeiro dividimos por 2 e em seguida por 3 e 29:
348 = 2^2 times 3^1 times 29^1

Passo 3

Fatoramos o número 594 em primos. Dividindo por 2 e depois por 3 e 11 obtemos:
594 = 2^1 times 3^3 times 11^1

Passo 4

Para encontrar o mdc tomamos cada primo com o menor expoente nas duas fatorações. Assim,
mdc(348,594) = 2^min(2,1) times 3^min(1,3) times 11^min(0,1) times 29^min(1,0) = 2^1 times 3^1 = 6

Passo 5

Para encontrar o mmc tomamos cada primo com o maior expoente nas duas fatorações. Assim,
mmc(348,594) = 2^max(2,1) times 3^max(1,3) times 11^max(0,1) times 29^max(1,0) = 2^2 times 3^3 times 11^1 times 29^1 = 34452

Passo 6

Para contar os divisores positivos de um número a fatoração
n = p1^e1 times p2^e2 times cdots times pk^ek
usa-se a fórmula
d(n) = (e1 + 1)(e2 + 1) cdots (ek + 1).
Aplicando a 348 com expoentes 2,1,1 temos
d(348) = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 times 2 times 2 = 12
Para 594 com expoentes 1,3,1 temos
d(594) = (1+1)(3+1)(1+1) = 2 times 4 times 2 = 16

Resposta

mdc(348,594)=6; mmc(348,594)=34452; número de divisores de 348 é 12; número de divisores de 594 é 16.

Exercícios relacionados