Calcule:
b) integral1^+infty x d x(x^2+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida . Esse tipo de integral pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais impróprias e técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição u que simplifique o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral: . Perceba que o numerador é e o denominador é . Uma boa estratégia aqui é usar a substituição u, onde escolhemos uma parte da função para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos definir du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2 . Com essa substituição, precisamos encontrar . Derivando em relação a , temos:
Isso nos permite reescrever a integral em termos de .

Passo 4

Substituindo integral x , dx(x^2+1)^2 = integral du2u^2 = 12 integral u^-2 , du e na integral original:
Agora, a integral está simplificada para uma forma mais fácil de resolver.

Passo 5

Vamos calcular integral u^-2 , du = -u^-1 + C = -1u + C :
12 ( -1u ) + C = -12u + C
Multiplicando pelo fator que tínhamos anteriormente:

Passo 6

Agora, voltamos à variável original -12(x^2 + 1) + C substituindo :
Esse é o resultado da integral indefinida. Mas lembremos que nosso exercício é uma integral definida de 1 até .

Passo 7

Para calcular a integral definida [ -12(x^2 + 1) ]1^+infty = limb to +infty ( -12(b^2 + 1) ) - ( -12(1^2 + 1) ) , usamos o resultado da antiderivada e aplicamos os limites:

Passo 8

Calculando o limite quando limb to +infty -12(b^2 + 1) = 0 tende a -12(1 + 1) = -14 :
0 - ( -14 ) = 14
E calculando o valor no limite inferior:
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral é .

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