Calcule:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida
. Esse tipo de integral pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais impróprias e técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição u que simplifique o denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral:
. Perceba que o numerador é
e o denominador é
. Uma boa estratégia aqui é usar a substituição u, onde escolhemos uma parte da função para simplificar a integral.
Passo 3
Vamos definir
. Com essa substituição, precisamos encontrar
. Derivando
em relação a
, temos:
Isso nos permite reescrever a integral em termos de
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Agora, a integral está simplificada para uma forma mais fácil de resolver.
Passo 5
Vamos calcular
:
Multiplicando pelo fator
que tínhamos anteriormente:
Passo 6
Agora, voltamos à variável original
substituindo
:
Esse é o resultado da integral indefinida. Mas lembremos que nosso exercício é uma integral definida de 1 até
.
Passo 7
Para calcular a integral definida
, usamos o resultado da antiderivada e aplicamos os limites:
Passo 8
Calculando o limite quando
tende a
:
E calculando o valor no limite inferior:
Subtraindo:
Resposta
O valor da integral
é
.