Calcule a integral de superfície integral duplaS x d S onde S é a parte do paraboloide x=y^2+z^2 que está dentro do cilindro y^2+z^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície integral duplaS x , dS, onde S é a parte do paraboloide x = y^2 + z^2 que está dentro do cilindro y^2 + z^2 = 9.
Vamos usar conceitos de cálculo que envolvem integrais de superfície e coordenadas polares para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região sobre a qual precisamos integrar. O paraboloide dado é x = y^2 + z^2, e queremos a parte que está dentro do cilindro y^2 + z^2 = 9.
Isso significa que estamos limitando a integral a quando y^2 + z^2 <= 9. Visualmente, isso é como cortar o paraboloide com o cilindro, deixando apenas a parte do paraboloide que está dentro desse cilindro.

Passo 3

Para simplificar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
  • y = r cos theta
  • z = r sin theta
  • r^2 = y^2 + z^2
No nosso caso, r vai de 0 a 3 (já que y^2 + z^2 = 9 implica r = 3), e theta vai de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.

Passo 4

Agora, precisamos expressar a equação do paraboloide em coordenadas cilíndricas. Substituindo y e z:
x = y^2 + z^2 = r^2
Então, x = r^2.
Isso nos ajuda a parametrizar a superfície S em termos de r e theta.

Passo 5

O próximo passo é encontrar o elemento de área dS na superfície do paraboloide. Para uma superfície parametrizada por r e theta, temos:
dS = raiz(partial xpartial r)^2 + (partial xpartial theta)^2 + 1 , r , dr , dtheta
Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial r = 2r e partial xpartial theta = 0
Então:
dS = raiz(2r)^2 + 0 + 1 , r , dr , dtheta = raiz4r^2 + 1 , r , dr , dtheta

Passo 6

Agora, podemos montar a integral de superfície:
integral duplaS x , dS = integral0^2pi integral0^3 x cdot raiz4r^2 + 1 , r , dr , dtheta
Substituindo x = r^2:
integral duplaS x , dS = integral0^2pi integral0^3 r^2 cdot raiz4r^2 + 1 , r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^3 r^3 raiz4r^2 + 1 , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a r. Fazendo uma substituição para facilitar:
Seja u = 4r^2 + 1, então dudr = 8r, ou dr = du8r.
Substituindo na integral:
integral r^3 raizu cdot du8r = 18 integral r^2 raizu , du
Mas como u = 4r^2 + 1, temos r^2 = u - 14.
Substituindo de novo:
18 integral u - 14 raizu , du = 132 integral (u - 1) u^1/2 , du = 132 integral (u^3/2 - u^1/2) , du
Integrando termo a termo:
132 ( 25 u^5/2 - 23 u^3/2 ) + C

Passo 8

Voltando para u = 4r^2 + 1 e substituindo os limites de r de 0 a 3:
132 ( 25 (4(3)^2 + 1)^5/2 - 23 (4(3)^2 + 1)^3/2 - [ 25 (4(0)^2 + 1)^5/2 - 23 (4(0)^2 + 1)^3/2 ] )
Calculando:
4(3)^2 + 1 = 36 + 1 = 37 e 4(0)^2 + 1 = 1
Portanto:
132 ( 25 (37)^5/2 - 23 (37)^3/2 - 25 (1)^5/2 + 23 (1)^3/2 )

Passo 9

Simplificando os termos:
132 ( 25 37^5/2 - 23 37^3/2 - 25 + 23 )

Passo 10

A integral em r resulta em:
132 ( 25 37^5/2 - 23 37^3/2 - 25 + 23 ) = 132 ( 25 (37^5/2 - 1) - 23 (37^3/2 - 1) )

Passo 11

Agora, voltamos à integral externa em relação a theta:
integral duplaS x , dS = integral0^2pi [ 132 ( 25 (37^5/2 - 1) - 23 (37^3/2 - 1) ) ] dtheta
Como a expressão dentro da integral não depende de theta, podemos tirar ela de fora:
132 ( 25 (37^5/2 - 1) - 23 (37^3/2 - 1) ) cdot integral0^2pi dtheta = 132 ( 25 (37^5/2 - 1) - 23 (37^3/2 - 1) ) cdot 2pi

Passo 12

Finalmente, multiplicando todos os fatores:
integral duplaS x , dS = 2pi32 ( 25 (37^5/2 - 1) - 23 (37^3/2 - 1) ) = pi16 ( 25 (37^5/2 - 1) - 23 (37^3/2 - 1) )

Resposta

A integral de superfície é igual a pi16 ( 25 (37^5/2 - 1) - 23 (37^3/2 - 1) ).

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