Calcule a integral de superfície
onde
é a parte do paraboloide
que está dentro do cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície
, onde
é a parte do paraboloide
que está dentro do cilindro
.
Vamos usar conceitos de cálculo que envolvem integrais de superfície e coordenadas polares para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região sobre a qual precisamos integrar. O paraboloide dado é
, e queremos a parte que está dentro do cilindro
.
Isso significa que estamos limitando a integral a quando
. Visualmente, isso é como cortar o paraboloide com o cilindro, deixando apenas a parte do paraboloide que está dentro desse cilindro.
Passo 3
Para simplificar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
No nosso caso,
vai de 0 a 3 (já que
implica
), e
vai de 0 a
para cobrir todo o círculo.
Passo 4
Agora, precisamos expressar a equação do paraboloide em coordenadas cilíndricas. Substituindo
e
:
Então,
.
Isso nos ajuda a parametrizar a superfície
em termos de
e
.
Passo 5
O próximo passo é encontrar o elemento de área
na superfície do paraboloide. Para uma superfície parametrizada por
e
, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 6
Agora, podemos montar a integral de superfície:
Substituindo
:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a
. Fazendo uma substituição para facilitar:
Seja
, então
, ou
.
Substituindo na integral:
Mas como
, temos
.
Substituindo de novo:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Voltando para
e substituindo os limites de
de 0 a 3:
Calculando:
Portanto:
Passo 9
Simplificando os termos:
Passo 10
A integral em
resulta em:
Passo 11
Agora, voltamos à integral externa em relação a
:
Como a expressão dentro da integral não depende de
, podemos tirar ela de fora:
Passo 12
Finalmente, multiplicando todos os fatores:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.