De uma lâmina metálica deseja-se um cilindro circular reto tendo nas extremidades dois cones circulares retos. Mostre que, para um volume fixo, a área total é a menor possível quando o comprimento do cilindro é o mesmo que a altura de cada cone e o diâmetro do cilindro é raiz5 vezes o seu comprimento.

Passo 1

O enunciado pede para minimizar a área total de um sólido composto por um cilindro circular reto de raio r e comprimento x, apoiado em dois cones circulares retos de mesmo raio r e altura y, sujeita a um volume V fixo.

Passo 2

Escrevemos primeiro o volume total em função de r,x,y. Sabendo que o volume do cilindro é pi r^2x e o de cada cone é tfrac13pi r^2y, temos
V = pi r^2 x + 2cdot 13pi r^2y = pi r^2l(x + 2y3r)

Passo 3

A área total é a soma da área lateral do cilindro, 2pi r x, com a de dois cones, cada um com área lateral pi r s, onde s=raizr^2+y^2 é a geratriz. Logo
A = 2pi r x + 2pi rraizr^2+y^2 = 2pi rl(x + raizr^2+y^2r)

Passo 4

Para impor o volume fixo, eliminamos x isolando na fórmula de V:
x = Vpi r^2 - 2y3 Substituímos em A para obter A só em r,y:
A(r,y) = 2pil(Vpi r - 2ry3 + rraizr^2+y^2r)

Passo 5

Calculamos as condições de ótimo via derivadas parciais. De partial A/partial y = 0 vem
-2r3 + r,yraizr^2+y^2 = 0
que leva a
yraizr^2+y^2 = 23 Longrightarrow 5y^2 = 4r^2 Longrightarrow y = 2raiz5,r

Passo 6

Em seguida, usando esse y em partial A/partial r=0 (ou usando a relação para x), obtém-se
x = 2raiz5,r = y, ou seja, o comprimento do cilindro x iguala a altura de cada cone y.

Passo 7

Finalmente, como o diâmetro do cilindro é 2r e x=2r/raiz5, segue
2r = raiz5,x

Passo 8

Concluímos que a área total é mínima quando o comprimento do cilindro é igual à altura de cada cone e o diâmetro do cilindro é raiz5 vezes o seu comprimento.

Resposta

Comprimento do cilindro igual à altura de cada cone ( x=y) e diâmetro do cilindro 2r=raiz5,x.

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