De uma lâmina metálica deseja-se um cilindro circular reto tendo nas extremidades dois cones circulares retos. Mostre que, para um volume fixo, a área total é a menor possível quando o comprimento do cilindro é o mesmo que a altura de cada cone e o diâmetro do cilindro é
vezes o seu comprimento.
Passo 1
O enunciado pede para minimizar a área total de um sólido composto por um cilindro circular reto de raio
e comprimento
, apoiado em dois cones circulares retos de mesmo raio
e altura
, sujeita a um volume
fixo.
Passo 2
Escrevemos primeiro o volume total em função de
. Sabendo que o volume do cilindro é
e o de cada cone é
, temos
Passo 3
A área total é a soma da área lateral do cilindro,
, com a de dois cones, cada um com área lateral
, onde
é a geratriz. Logo
Passo 4
Para impor o volume fixo, eliminamos
isolando na fórmula de
:
Passo 5
Calculamos as condições de ótimo via derivadas parciais. De
vem
que leva a
Passo 6
Em seguida, usando esse
em
(ou usando a relação para
), obtém-se
Passo 7
Finalmente, como o diâmetro do cilindro é
e
, segue
Passo 8
Concluímos que a área total é mínima quando o comprimento do cilindro é igual à altura de cada cone e o diâmetro do cilindro é
vezes o seu comprimento.
Resposta
Comprimento do cilindro igual à altura de cada cone (
) e diâmetro do cilindro
.