Calcule a soma dos três maiores inteiros positivos
que satisfazem a inequação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a soma dos três maiores números inteiros positivos
que satisfazem a inequação
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de resolução de inequações racionais, ou seja, aquelas que envolvem frações com polinômios no numerador e denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da inequação. Esses pontos são onde o numerador ou o denominador se tornam zero, pois mudam o sinal da expressão. Assim, resolvemos:
E para o denominador:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 3
Com os pontos críticos, dividimos a reta numérica em intervalos para analisar o sinal da inequação em cada um deles:
Vamos testar um número de cada intervalo na inequação para ver se ela é positiva ou negativa.
Passo 4
Intervalo 1:
(por exemplo,
)
Intervalo 2:
(por exemplo,
)
Intervalo 3:
(por exemplo,
)
Intervalo 4:
(por exemplo,
)
Passo 5
Observamos que a inequação é satisfeita nos intervalos
e
. Mas como estamos interessados apenas em números inteiros positivos, consideramos
.
Passo 6
Os três maiores inteiros positivos que satisfazem a inequação são
e
. Calculando a soma:
Resposta
21