Calcule a soma dos três maiores inteiros positivos x que satisfazem a inequação (x-2)(-8+x)-5 x-5 >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a soma dos três maiores números inteiros positivos que satisfazem a inequação . Para resolver isso, vamos usar conceitos de resolução de inequações racionais, ou seja, aquelas que envolvem frações com polinômios no numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da inequação. Esses pontos são onde o numerador ou o denominador se tornam zero, pois mudam o sinal da expressão. Assim, resolvemos:
(x - 2)(x - 8) = 0 Rightarrow x = 2 ou x = 8
E para o denominador:
-5x -5 = 0 Rightarrow x = -1
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 3

Com os pontos críticos, dividimos a reta numérica em intervalos para analisar o sinal da inequação em cada um deles:
Vamos testar um número de cada intervalo na inequação para ver se ela é positiva ou negativa.

Passo 4

Intervalo 1: (-2-2)(-2-8)-5(-2) -5 = (-4)(-10)10 -5 = 405 = 8 >= 0 (Verdade) (por exemplo, (0-2)(0-8)-5(0) -5 = (-2)(-8)-5 = 16-5 = -3,2 >= 0 (Falso) )
(5-2)(5-8)-5(5) -5 = (3)(-3)-25 -5 = -9-30 = 0,3 >= 0 (Verdade)
Intervalo 2: (9-2)(9-8)-5(9) -5 = (7)(1)-45 -5 = 7-50 = -0,14 >= 0 (Falso) (por exemplo, )
Intervalo 3: (por exemplo, )
Intervalo 4: (por exemplo, )

Passo 5

Observamos que a inequação é satisfeita nos intervalos e . Mas como estamos interessados apenas em números inteiros positivos, consideramos .

Passo 6

Os três maiores inteiros positivos que satisfazem a inequação são 6 + 7 + 8 = 21 e . Calculando a soma:

Resposta

21

Exercícios relacionados