Determine a área entre as curvas y=x^2 e x+y=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área entre as curvas e . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, para encontrar essa área. Precisaremos identificar onde as curvas se encontram e, em seguida, configurar e calcular a integral adequada para obter a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver o sistema das equações x + x^2 = 2 e x^2 + x - 2 = 0 simultaneamente.
Substituindo da primeira equação na segunda:
Rearranjando:
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de onde as curvas se cruzam.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática x = -b pm raizb^2 - 4ac2a :
Usamos a fórmula de Bhaskara:
x = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Aqui, x = 1 e x = -2 , e . Substituindo:
Portanto, as soluções são:

Passo 4

Agora que temos os valores de y = (-2)^2 = 4 onde as curvas se intersectam ( y = (1)^2 = 1 e ), vamos encontrar os correspondentes valores de usando .
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são (-2, 4) e (1, 1).

Passo 5

Agora, vamos determinar qual curva está acima da outra entre y = 0^2 = 0 e y = 2 - 0 = 2 e y = (-1)^2 = 1 e y = 2 - (-1) = 3 . Vamos avaliar e (rearranjando ) para alguns valores de nesse intervalo.
Por exemplo, para :
Aqui, está acima de . Verificando outro valor, como :
Novamente, está acima de . Portanto, entre e , a linha está sempre acima da parábola .

Passo 6

Para encontrar a área entre as curvas, configuramos a seguinte integral:
Área = integrala^b ( função de cima - função de baixo ) , dx Áçãçã
Aqui, Área = integral-2^1 ( (2 - x) - x^2 ) dx , , a função de cima é e a função de baixo é .
Então:
Á

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(2 - x) - x^2 = -x^2 - x + 2
Agora, a integral fica:
Área = integral-2^1 (-x^2 - x + 2) , dx Á

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
integral (-x^2) , dx = -x^33 integral (-x) , dx = -x^22 integral 2 , dx = 2x
Portanto:
Área = [ -x^33 - x^22 + 2x ]-2^1 Á

Passo 9

Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de integração:
Para -1^33 - 1^22 + 2 times 1 = -13 - 12 + 2 = -56 + 2 = 76 :
-(-2)^33 - (-2)^22 + 2 times (-2) = --83 - 42 - 4 = 83 - 2 - 4 = 83 - 6 = -103
Para :

Passo 10

Subtraindo os valores:
Área = ( 76 ) - ( -103 ) = 76 + 103 = 76 + 206 = 276 = 92 Á

Resposta

A área entre as curvas e é igual a unidades de área.

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