Determine a área entre as curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área entre as curvas
e
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, para encontrar essa área. Precisaremos identificar onde as curvas se encontram e, em seguida, configurar e calcular a integral adequada para obter a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver o sistema das equações
e
simultaneamente.
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Rearranjando:
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
onde as curvas se cruzam.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Portanto, as soluções são:
Passo 4
Agora que temos os valores de
onde as curvas se intersectam (
e
), vamos encontrar os correspondentes valores de
usando
.
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são (-2, 4) e (1, 1).
Passo 5
Agora, vamos determinar qual curva está acima da outra entre
e
. Vamos avaliar
e
(rearranjando
) para alguns valores de
nesse intervalo.
Por exemplo, para
:
Aqui,
está acima de
. Verificando outro valor, como
:
Novamente,
está acima de
. Portanto, entre
e
, a linha
está sempre acima da parábola
.
Passo 6
Para encontrar a área entre as curvas, configuramos a seguinte integral:
Aqui,
,
, a função de cima é
e a função de baixo é
.
Então:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Passo 9
Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 10
Subtraindo os valores:
Resposta
A área entre as curvas
e
é igual a
unidades de área.