Calcule:
b^{\log _{b}(a)}, com b>0, b \neq 1, a>0

Passo 1

O enunciado dá as condições e pede para calcular uma expressão. As informações que temos são:
  • b>0,
  • b\neq1,
  • a>0.
    O que se pede é calcular a expressão b^{\log_{b}(a)}.

Passo 2

Para avançar, vamos lembrar muito claramente o que é a função logaritmo. A definição é:
  • \log_{b}(a) é o número (expoente) que a base b precisa ter para resultar em a.
    Em símbolos, isso significa que se y=\log_{b}(a) então, por definição,
b^{y}=a.
Essa definição só faz sentido quando b>0, b\neq1 e a>0 — exatamente as hipóteses que o enunciado deu.

Passo 3

Uma estratégia simples e direta é introduzir uma variável para a parte logarítmica. Defina
y=\log_{b}(a).
Pense nisso assim: y é "o expoente que faz b virar a".

Passo 4

Usando a definição do logaritmo (passo anterior), a igualdade y=\log_{b}(a) implica
b^{y}=a.
Essa é a tradução da frase "o logaritmo de a na base b é y".

Passo 5

Agora volte à expressão que queremos calcular e substitua y pelo que definimos:
b^{\log_{b}(a)}=b^{y}.
Pelo que acabamos de escrever em \

Passo 6

Para fixar a ideia com um exemplo numérico (só para você ver que bate na prática):
  • Se b=10 e a=100, então \log_{10}(100)=2 e 10^{\log_{10}(100)}=10^{2}=100.
  • Se b=2 e a=5, então \log_{2}(5) é um número (não inteiro), e 2^{\log_{2}(5)}=5.
    Isto ilustra que o logaritmo e a exponenciação são funções inversas: aplicar uma depois da outra devolve o valor original.

Resposta

a

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