Calcule:
4^{\log _{2}(3)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \;4^{\log_{2}(3)}\;.
Informações dadas:
  • A expressão envolve uma potência com base 4 e expoente \log_{2}(3).
  • Não há mais dados; é uma simplificação algébrica.

Passo 2

Entendendo o que é \log_{2}(3).
Por definição de logaritmo, \;y=\log_{2}(3)\; significa que \;2^{y}=3\;.
Isto é, o logaritmo é o expoente ao qual a base 2 deve ser elevada para produzir 3.

Passo 3

Reescrever a base 4 em potências de 2.
Como 4=2^{2}, podemos substituir na expressão:
4^{\log_{2}(3)} = \bigl(2^{2}\bigr)^{\log_{2}(3)}.
Aqui usei a identidade de potências: (a^{b})^{c}=a^{b\cdot c}. Essa regra vem de multiplicar expoentes quando elevamos uma potência a outra.

Passo 4

Aplicar a regra de potência a potência:
\bigl(2^{2}\bigr)^{\log_{2}(3)} = 2^{\,2\cdot\log_{2}(3)}.
Ou seja, o expoente fica multiplicado: 2\cdot\log_{2}(3).

Passo 5

Usar a propriedade do logaritmo que liga potência e multiplicação no expoente: para todo k e x>0,
k\log_{2}(x)=\log_{2}\bigl(x^{k}\bigr).
Explicação rápida dessa propriedade: se \log_{2}(x)=t então 2^{t}=x; multiplicando por k 2^{k t}=x^{k}, e isso significa que kt=\log_{2}(x^{k}). Aplicando com k=2 e x=3 obtemos
2\cdot\log_{2}(3)=\log_{2}\bigl(3^{2}\bigr)=\log_{2}(9).
Portanto a expressão do passo anterior vira
2^{\,2\cdot\log_{2}(3)} = 2^{\log_{2}(9)}.

Passo 6

Usar a identidade inversa entre exponenciação e logaritmo: para base 2 vale
2^{\log_{2}(A)}=A
para qualquer A>0. Isso decorre diretamente da definição de logaritmo (o log dá o expoente que aplicada a 2 devolve A). Aplicando com A=9:
2^{\log_{2}(9)}=9.
Assim chegamos ao valor final.

Resposta

9

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