Calcule, pela definição, os seguintes logarítmos:
\log _{0.1}(0.001)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \log_{0.1}(0.001). As informações dadas são:
  • base do logaritmo: 0{,}1;
  • argumento do logaritmo: 0{,}001.
    Também é importante notar que a base 0{,}1 é positiva e diferente de 1, portanto o logaritmo está bem definido.

Passo 2

Vou lembrar a definição de logaritmo (explicar passo a passo). Por definição, para uma base a com a>0 e a\neq1, o número
x=\log_{a}(b)
significa que
a^{x}=b.
Aqui a é a base do logaritmo, b é o argumento (o número cujo logaritmo queremos) e x é o valor que procuramos. A ideia é transformar o problema de encontrar um logaritmo em resolver uma equação exponencial.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso problema, escrevo
x=\log_{0{,}1}(0{,}001)\quad\Longleftrightarrow\quad (0{,}1)^{x}=0{,}001.
Agora o objetivo é resolver essa equação para x.

Passo 4

É conveniente escrever ambos os números como potências de 10. Isso porque 0{,}1 e 0{,}001 são frações decimais simples:
0{,}1=\frac{1}{10}=10^{-1}, \qquad 0{,}001=\frac{1}{1000}=10^{-3}.
Escrevi explicitamente cada passo: transformar decimal em fração e então em potência de 10.

Passo 5

Substituo essas expressões na equação da Passo 3:
(10^{-1})^{x}=10^{-3}.
Uso agora a regra de potências \,(a^{m})^{n}=a^{m n}, que diz que ao elevar uma potência a outra potência multiplica-se os expoentes. Aplicando:
10^{-1\cdot x}=10^{-3}\quad\Longrightarrow\quad 10^{-x}=10^{-3}.

Passo 6

A função 10^{t} é injetora (ou seja, cada expoente dá um valor distinto), portanto, se 10^{u}=10^{v} então u=v. Assim, dos dois lados temos potências de 10 iguais, então podemos igualar os expoentes:
- x = -3.
Resolvendo para x:
x=3.
Portanto o valor do logaritmo é 3.

Passo 7

(Comentário opcional — método alternativo) Para consolidar, poderia usar a fórmula de mudança de base: \log_{a}(b)=\dfrac{\ln b}{\ln a}. Aplicando:
\log_{0{,}1}(0{,}001)=\frac{\ln(10^{-3})}{\ln(10^{-1})}=\frac{-3\ln 10}{-1\ln 10}=3,
chegando ao mesmo resultado.

Resposta

3

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