Calcule, pela definição, os seguintes logarítmos:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. As informações dadas são:
- base do logaritmo:
; - argumento do logaritmo:
.
Também é importante notar que a baseé positiva e diferente de , portanto o logaritmo está bem definido.
Passo 2
Vou lembrar a definição de logaritmo (explicar passo a passo). Por definição, para uma base
com
e
, o número
significa que
Aqui
é a base do logaritmo,
é o argumento (o número cujo logaritmo queremos) e
é o valor que procuramos. A ideia é transformar o problema de encontrar um logaritmo em resolver uma equação exponencial.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso problema, escrevo
Agora o objetivo é resolver essa equação para
.
Passo 4
É conveniente escrever ambos os números como potências de
. Isso porque
e
são frações decimais simples:
Escrevi explicitamente cada passo: transformar decimal em fração e então em potência de
.
Passo 5
Substituo essas expressões na equação da Passo 3:
Uso agora a regra de potências
, que diz que ao elevar uma potência a outra potência multiplica-se os expoentes. Aplicando:
Passo 6
A função
é injetora (ou seja, cada expoente dá um valor distinto), portanto, se
então
. Assim, dos dois lados temos potências de
iguais, então podemos igualar os expoentes:
Resolvendo para
:
Portanto o valor do logaritmo é
.
Passo 7
(Comentário opcional — método alternativo) Para consolidar, poderia usar a fórmula de mudança de base:
. Aplicando:
chegando ao mesmo resultado.