Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a expressão
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A base da potência é
. - O expoente é o logaritmo
, isto é, o logaritmo de na base .
A pergunta é: qual é o valor numérico de?
Passo 2
Lembrete didático sobre logaritmo (explicação passo a passo):
- Por definição,
significa que .
Ou seja, o logaritmo responde: “a que potência devo elevarpara obter ?”. - Requisitos para a definição: a base
deve satisfazer e ; o argumento deve ser . - Aplicando isso ao nosso caso: se
, então, por definição, .
Passo 3
Faça a substituição direta para ver o que a definição nos dá:
- Seja
. Pela definição de logaritmo, tem-se . - A expressão original é
, que é simplesmente . - Como
, concluímos que .
Passo 4
Método alternativo (trocar de base usando logaritmos naturais) — isso reforça a ideia e é útil na prova:
- A fórmula de mudança de base diz que
, onde é o logaritmo natural. - Então
- Escrever
como (porque ) dá
- E
. Resultado confirmado: .
Passo 5
Regra geral e dicas rápidas para a prova:
- Identidade útil: para toda base válida
e todo , vale
Use essa propriedade sempre que a base da potência for igual à base do logaritmo — aí a expressão se simplifica imediatamente.
- Exemplos rápidos:
, . - Cuidado: se as bases forem diferentes, por exemplo
, não se pode simplificar direto sem transformação (use mudança de base).