Calcule:
3^{\log _{3}(2)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \,3^{\log_{3}(2)}.
Informações dadas:
  • A base da potência é \,3.
  • O expoente é o logaritmo \,\log_{3}(2), isto é, o logaritmo de \,2 na base \,3.
    A pergunta é: qual é o valor numérico de \,3^{\log_{3}(2)}?

Passo 2

Lembrete didático sobre logaritmo (explicação passo a passo):
  • Por definição, \,y=\log_{a}(b) significa que \,a^{y}=b.
    Ou seja, o logaritmo responde: “a que potência devo elevar \,a para obter \,b?”.
  • Requisitos para a definição: a base a deve satisfazer a>0 e a\neq1; o argumento b deve ser b>0.
  • Aplicando isso ao nosso caso: se \,x=\log_{3}(2), então, por definição, \,3^{x}=2.

Passo 3

Faça a substituição direta para ver o que a definição nos dá:
  • Seja \,x=\log_{3}(2). Pela definição de logaritmo, tem-se \,3^{x}=2.
  • A expressão original é \,3^{\log_{3}(2)}, que é simplesmente \,3^{x}.
  • Como \,3^{x}=2, concluímos que \,3^{\log_{3}(2)}=2.

Passo 4

Método alternativo (trocar de base usando logaritmos naturais) — isso reforça a ideia e é útil na prova:
  • A fórmula de mudança de base diz que \displaystyle \log_{3}(2)=\frac{\ln 2}{\ln 3}, onde \ln é o logaritmo natural.
  • Então
3^{\log_{3}(2)}=3^{\frac{\ln 2}{\ln 3}}.
  • Escrever 3 como e^{\ln 3} (porque e^{\ln 3}=3) dá
3^{\frac{\ln 2}{\ln 3}}=\left(e^{\ln 3}\right)^{\frac{\ln 2}{\ln 3}}=e^{\ln 3\cdot\frac{\ln 2}{\ln 3}}=e^{\ln 2}.
  • E e^{\ln 2}=2. Resultado confirmado: \,3^{\log_{3}(2)}=2.

Passo 5

Regra geral e dicas rápidas para a prova:
  • Identidade útil: para toda base válida a e todo b>0, vale
a^{\log_{a}(b)}=b.
Use essa propriedade sempre que a base da potência for igual à base do logaritmo — aí a expressão se simplifica imediatamente.
  • Exemplos rápidos: 10^{\log_{10}(5)}=5, 5^{\log_{5}(7)}=7.
  • Cuidado: se as bases forem diferentes, por exemplo a^{\log_{b}\text{(c)}}, não se pode simplificar direto sem transformação (use mudança de base).

Resposta

2

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