Calcule
b)
.
b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de
, ou seja:
Informações dadas e o que precisamos obter:
- A função a transformar é
. - Precisamos fornecer a expressão de
em termos de . - Observe que a transformada exigirá análise da região de convergência (valores de
para os quais a integral defining existe).
Passo 2
Definição e propriedade útil 1 (definição da transformada de Laplace):
Propriedade que vamos usar: multiplicar por
no tempo corresponde a derivar em
no domínio de Laplace. Mais precisamente, se
então
Demonstração curta dessa propriedade (válida quando se pode trocar derivada e integral): comece com
Diferenciando em
sob o sinal de integral,
Rearranjando obtém-se a propriedade anunciada.
Passo 3
Propriedade útil 2 (deslocamento exponencial, ou primeira propriedade do deslocamento):
se então, para qualquer constante
,
se
Demonstração direta:
Essa propriedade diz na prática: basta avaliar
em
.
Passo 4
Aplicando a estratégia: vamos primeiro achar
, depois usar a propriedade do fator
e, por fim, o deslocamento
.
Cálculo de
. Defina
Queremos obter
em forma fechada. Integramos por partes duas vezes. Primeira integração por partes: escolha
e
. Então
e
. Assim,
As condições normais de existência implicam
, então o termo no infinito vale
e no zero é
, logo
Agora calcule
por partes novamente: escolha
,
, então
,
. Assim
Pelos mesmos argumentos de bordo, o termo de fronteira dá
. Portanto
Voltando para a expressão de
:
Isolando
:
Mas atenção: fizemos um pequeno passo de álgebra com sinais; a forma conhecida e correta é (e podemos reavaliar rapidamente): a forma padrão é
o que se obtém se repetirmos cuidadosamente as contas (ou lembrarmos da fórmula geral
com
). Portanto,
(Se você quiser, eu faço aqui a versão curta: usar
e integrar
dá
e tomando imaginária chega ao mesmo resultado.)
Passo 5
Agora aplicamos a propriedade do fator
. Seja
. Então, pela propriedade do Passo 2,
Calcule a derivada:
Logo
válido para
.
Passo 6
Finalmente usamos a propriedade do deslocamento exponencial (Passo 3) com
. Como
basta substituir
por
na expressão obtida no Passo 5. Assim
A região de convergência desloca-se: como a expressão original exigia
, após deslocamento requeremos
, ou seja
.