( 2,0 pontos) Uma parcela de ar seco (gás ideal) está inicialmente na superfície da Terra, com pressão
, volume
e temperatura
. Esta parcela sofre um levantamento na atmosfera até atingir o nível de pressão
num processo adiabático. Expresse o volume final (
) e a temperatura final (
) da parcela em função de
e dos valores iniciais das variáveis.
Passo 1
O enunciado dá uma parcela de ar seco (gás ideal) que parte da superfície com pressão inicial
, volume inicial
e temperatura inicial
. Essa parcela sobe adiabatica e atinge um novo nível de pressão
(com
).
O que nos pedem: expressar o volume final e a temperatura final
em função de
e dos valores iniciais
.
Informações relevantes fornecidas no enunciado (vou listar exatamente para não perder nada):
ou
(primeira lei)
(equação dos gases ideais)
(processo adiabático reversível)
Não vou resolver nada aqui; só deixei claro o que temos e o que é pedido.
O que nos pedem: expressar o volume final
Informações relevantes fornecidas no enunciado (vou listar exatamente para não perder nada):
Não vou resolver nada aqui; só deixei claro o que temos e o que é pedido.
Passo 2
Vamos usar as duas relações-chave válidas para um gás ideal em processo adiabático reversível: a lei dos gases ideais e a relação adiabática
.\nVou mostrar passo a passo por que a temperatura também satisfaz uma relação do tipo
(isso ajuda a achar
). É importante ver a derivação para que você saiba aplicar isso na prova sem decorar cegamente.
Derivação de (forma conveniente para conectar
e
). Para ficar claro e evitar confusão com massa, uso a variável de volume específico
(volume por unidade de massa). Para processo adiabático reversível temos
, então da primeira lei:
Derivação de
onde
é a energia interna por unidade de massa. Para gás ideal monocomponente
, então
Substituindo:
Usando a equação dos gases em forma específica
, temos
. Substituindo em cima:
Dividindo por
(assumindo
):
Agora usamos a relação entre constantes
e
para obter
. Dividindo a equação acima por
:
Integramos (processo entre estados 1 e 2):
ou, reescrevendo,
Como
e
é constante, isso implica também que
Passo 3
constante para massa fixa}).
]
]
Essa é a relação que liga
e
em processo adiabático reversível para gás ideal.
Passo 4
Agora uso a relação adiabática conhecida (dada no enunciado):
Dessa igualdade isolamos
. Primeiro escrevo:
Tomando a potência
em ambos os lados:
Pronto — essa é a expressão de
em função de
e dos valores iniciais.
Passo 5
Agora encontramos
usando
. Igualando para os estados 1 e 2:
Desse modo
Substituímos
usando a expressão do passo anterior. Como
temos
Então
Portanto
Passo 6
Pequeno comentário final de incentivo: você já tem as duas fórmulas que normalmente aparecem na prova para processo adiabático reversível de gás ideal. Elas vêm direto de combinar
constante com a equação dos gases ideais e a primeira lei. Se decorar o raciocínio da derivação do Passo 3 — especialmente que
constante — você consegue deduzir qualquer relação entre
para processos adiabáticos sem decorar tudo.