( 2,0 pontos) Uma parcela de ar seco (gás ideal) está inicialmente na superfície da Terra, com pressão \mathrm{P}_{1}, volume \mathrm{V}_{1} e temperatura \mathrm{T}_{1}. Esta parcela sofre um levantamento na atmosfera até atingir o nível de pressão \mathrm{P}_{2}\left(\mathrm{P}_{2}<\mathrm{P}_{1}\right) num processo adiabático. Expresse o volume final ( \mathrm{V}_{2} ) e a temperatura final ( \mathrm{T}_{2} ) da parcela em função de \mathrm{P}_{2} e dos valores iniciais das variáveis.
\begin{aligned} & \Delta U+W=Q \text { ou } d U+\delta W=\delta Q \\ & p V=m R T \\ & p V^{\gamma}=\text { cte } \\ & \gamma=c_{p} / c_{v} \\ & d W=P d V \\ & d U=c_{v} d T \\ & c_{p}=c_{v}+R \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá uma parcela de ar seco (gás ideal) que parte da superfície com pressão inicial \mathrm{P}_{1}, volume inicial \mathrm{V}_{1} e temperatura inicial \mathrm{T}_{1}. Essa parcela sobe adiabatica e atinge um novo nível de pressão \mathrm{P}_{2} (com \mathrm{P}_{2}<\mathrm{P}_{1}).
O que nos pedem: expressar o volume final \mathrm{V}_{2} e a temperatura final \mathrm{T}_{2} em função de \mathrm{P}_{2} e dos valores iniciais \mathrm{P}_{1},\mathrm{V}_{1},\mathrm{T}_{1}.
Informações relevantes fornecidas no enunciado (vou listar exatamente para não perder nada):
\quad \Delta U+W=Q ou dU+\delta W=\delta Q (primeira lei)
\quad pV=mRT (equação dos gases ideais)
\quad pV^{\gamma}=\text{cte} (processo adiabático reversível)
\quad \gamma=c_{p}/c_{v}
\quad \delta W=P\,dV
\quad dU=c_{v}\,dT
\quad c_{p}=c_{v}+R
Não vou resolver nada aqui; só deixei claro o que temos e o que é pedido.

Passo 2

Vamos usar as duas relações-chave válidas para um gás ideal em processo adiabático reversível: a lei dos gases ideais e a relação adiabática \;pV^{\gamma}=\text{cte}.\nVou mostrar passo a passo por que a temperatura também satisfaz uma relação do tipo T V^{\gamma-1}=\text{cte} (isso ajuda a achar \mathrm{T}_{2}). É importante ver a derivação para que você saiba aplicar isso na prova sem decorar cegamente.
Derivação de T V^{\gamma-1}=\text{cte} (forma conveniente para conectar T e V). Para ficar claro e evitar confusão com massa, uso a variável de volume específico v=V/m (volume por unidade de massa). Para processo adiabático reversível temos dQ=0, então da primeira lei:
d u + p\,d v = 0
onde u é a energia interna por unidade de massa. Para gás ideal monocomponente u=c_{v}T, então
d u = c_{v}\,dT.
Substituindo:
c_{v}\,dT + p\,d v = 0.
Usando a equação dos gases em forma específica p v = R T, temos p = \dfrac{R T}{v}. Substituindo em cima:
c_{v}\,dT + \frac{R T}{v}\,d v = 0.
Dividindo por T (assumindo T>0):
c_{v}\,\frac{dT}{T} + R\,\frac{d v}{v} = 0.
Agora usamos a relação entre constantes R = c_{p}-c_{v} e \gamma = c_{p}/c_{v} para obter R/c_{v} = \gamma-1. Dividindo a equação acima por c_{v}:
\frac{dT}{T} + \frac{R}{c_{v}}\,\frac{d v}{v} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dT}{T} + (\gamma-1)\frac{d v}{v} = 0.
Integramos (processo entre estados 1 e 2):
\ln T + (\gamma-1)\ln v = \text{const}
ou, reescrevendo,
T\,v^{\gamma-1}=\text{const}.
Como v=V/m e m é constante, isso implica também que
T\,V^{\gamma-1}=\text{cte\_

Passo 3

constante para massa fixa}).
]
Essa é a relação que liga T e V em processo adiabático reversível para gás ideal.

Passo 4

Agora uso a relação adiabática conhecida (dada no enunciado):
P_{1}V_{1}^{\gamma}=P_{2}V_{2}^{\gamma}.
Dessa igualdade isolamos \mathrm{V}_{2}. Primeiro escrevo:
V_{2}^{\gamma}= \frac{P_{1}}{P_{2}}\,V_{1}^{\gamma}.
Tomando a potência 1/\gamma em ambos os lados:
V_{2}=V_{1}\left(\frac{P_{1}}{P_{2}}\right)^{1/\gamma}.
Pronto — essa é a expressão de \mathrm{V}_{2} em função de \mathrm{P}_{2} e dos valores iniciais.

Passo 5

Agora encontramos \mathrm{T}_{2} usando T V^{\gamma-1}=\text{const}. Igualando para os estados 1 e 2:
T_{1}V_{1}^{\gamma-1}=T_{2}V_{2}^{\gamma-1}.
Desse modo
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma-1}.
Substituímos V_{1}/V_{2} usando a expressão do passo anterior. Como
V_{2}=V_{1}\left(\frac{P_{1}}{P_{2}}\right)^{1/\gamma}
temos
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{1/\gamma}.
Então
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}.
Portanto
T_{2}=T_{1}\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}.

Passo 6

Pequeno comentário final de incentivo: você já tem as duas fórmulas que normalmente aparecem na prova para processo adiabático reversível de gás ideal. Elas vêm direto de combinar pV^{\gamma}= constante com a equação dos gases ideais e a primeira lei. Se decorar o raciocínio da derivação do Passo 3 — especialmente que T V^{\gamma-1}= constante — você consegue deduzir qualquer relação entre P,V,T para processos adiabáticos sem decorar tudo.

Resposta

\displaystyle V_{2}=V_{1}\left(\dfrac{P_{1}}{P_{2}}\right)^{1/\gamma}
\displaystyle T_{2}=T_{1}\left(\dfrac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}

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