Calcule \mathscr{L}\left\{f(t)\right\}, ou \mathscr{L}^{-1}\left\{F(s)\right\}, conforme seja o caso:
(b) F(s)=\frac{2 s-3}{s^{2}-1}

Passo 1

O enunciado dá a função no domínio de s:
F(s)=\frac{2s-3}{s^{2}-1}
e pede que calculemos a transformada inversa de Laplace, isto é, f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}. As informações relevantes: o denominador fatora como produto de fatores lineares distintos e queremos uma função f(t) em termos de exponenciais para t\ge 0.

Passo 2

Estratégia escolhida: decompor F(s) em frações parciais sobre os fatores lineares do denominador. Isso é útil porque existe uma transformada inversa simples para termos da forma \dfrac{1}{s-a}. Escrevemos:
\frac{2s-3}{s^{2}-1}=\frac{2s-3}{(s-1)(s+1)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+1},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (s-1)(s+1) para eliminar os denominadores:
2s-3 = A(s+1)+B(s-1).
Agora expandimos o lado direito:
A(s+1)+B(s-1) = (A+B)s + (A-B).

Passo 4

Comparando coeficientes da igualdade com 2s-3\), obtemos o sistema \[\begin{cases} A+B = 2,\\[4pt] A-B = -3. \end{cases}
Somando as duas equações:
2A = -1 \quad\Rightarrow\quad A = -\tfrac{1}{2}.
Usando (A+B=2],
B = 2 - A = 2 -\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{5}{2}.]

Passo 5

Substituindo A e B de volta na decomposição, temos
\frac{2s-3}{s^{2}-1} = -\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-1} + \tfrac{5}{2}\cdot\frac{1}{s+1}.

Passo 6

Lembrando a transformada inversa básica: para constante a,
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\} = e^{at}\qquad(t\ge 0),
e usando a linearidade da transformada inversa (constantes saem fora), aplicamos termo a termo.

Passo 7

Aplicando a regra acima a cada parcela:
\mathscr{L}^{-1}\left\{-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-1}\right\} = -\tfrac{1}{2}e^{t},
\mathscr{L}^{-1}\left\{\tfrac{5}{2}\cdot\frac{1}{s+1}\right\} = \tfrac{5}{2}e^{-t}.
Somando os resultados obtemos a função no domínio do tempo:
f(t)= -\tfrac{1}{2}e^{t} + \tfrac{5}{2}e^{-t},\qquad t\ge 0.

Resposta

-\tfrac{1}{2}e^{t}+\tfrac{5}{2}e^{-t}

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