Calcule
, ou
, conforme seja o caso:
(d)
.
(d)
Passo 1
O enunciado nos dá a função de
e pede para calcular
, ou seja, encontrar a função
cuja transformada de Laplace é
. Informação relevante: o domínio usual do operador de Laplace exige
com parte real suficientemente grande para convergência; aqui vamos trabalhar com a forma algébrica de
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar o denominador completando o quadrado — isso facilita reconhecer formas padrão de transformadas inversas. Calcule:
Portanto podemos reescrever
Passo 3
Agora lembro a forma padrão que será útil aqui. A transformada de Laplace da função
é
o que pode ser visto rapidamente escrevendo
e integrando
, tomando a parte imaginária. Outra propriedade-chave é o deslocamento no eixo
: se
então, para qualquer constante
,
Essa propriedade é muito prática: ela diz que multiplicar por
no tempo corresponde a deslocar
para
na transformada.
Passo 4
Comparemos
com a forma padrão
. Aqui identificamos
e
. Para
temos a transformada
Nosso
tem numerador
, ou seja,
Pelo linearidade da transformada inversa, a função no tempo é simplesmente
vezes
.
Passo 5
Para ficar totalmente seguro, podemos checar aplicando a transformada direta:
que coincide com o
dado. Então a inversa encontrada está correta.