Calcule \mathscr{L}\left\{f(t)\right\}, ou \mathscr{L}^{-1}\left\{F(s)\right\}, conforme seja o caso:
(d) F(s)=\frac{2}{s^{2}-4 s+5}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de s
F(s)=\frac{2}{s^{2}-4 s+5}
e pede para calcular \mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}, ou seja, encontrar a função f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). Informação relevante: o domínio usual do operador de Laplace exige s com parte real suficientemente grande para convergência; aqui vamos trabalhar com a forma algébrica de F(s).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o denominador completando o quadrado — isso facilita reconhecer formas padrão de transformadas inversas. Calcule:
s^{2}-4s+5 = (s^{2}-4s+4)+1 = (s-2)^{2}+1.
Portanto podemos reescrever
F(s)=\frac{2}{(s-2)^{2}+1}.

Passo 3

Agora lembro a forma padrão que será útil aqui. A transformada de Laplace da função \sin(bt) é
\mathscr{L}\{\sin(bt)\}=\frac{b}{s^{2}+b^{2}},
o que pode ser visto rapidamente escrevendo \sin(bt)=\operatorname{Im}(e^{ibt}) e integrando \int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{ibt}\,dt=\frac{1}{s-ib}, tomando a parte imaginária. Outra propriedade-chave é o deslocamento no eixo s: se
\mathscr{L}\{f(t)\}=F(s),
então, para qualquer constante a,
\mathscr{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a).
Essa propriedade é muito prática: ela diz que multiplicar por e^{at} no tempo corresponde a deslocar s para s-a na transformada.

Passo 4

Comparemos F(s)=\dfrac{2}{(s-2)^{2}+1} com a forma padrão \dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}=\mathscr{L}\{e^{at}\sin(bt)\}. Aqui identificamos a=2 e b=1. Para a=2,b=1 temos a transformada
\mathscr{L}\{e^{2t}\sin t\}=\frac{1}{(s-2)^{2}+1}.
Nosso F(s) tem numerador 2, ou seja,
F(s)=2\cdot\frac{1}{(s-2)^{2}+1}=2\cdot\mathscr{L}\{e^{2t}\sin t\}.
Pelo linearidade da transformada inversa, a função no tempo é simplesmente 2 vezes e^{2t}\sin t.

Passo 5

Para ficar totalmente seguro, podemos checar aplicando a transformada direta:
\mathscr{L}\{2e^{2t}\sin t\}=2\cdot\frac{1}{(s-2)^{2}+1}=\frac{2}{s^{2}-4s+5},
que coincide com o F(s) dado. Então a inversa encontrada está correta.

Resposta

f(t)=2e^{2t}\sin t

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