Os limites abaixo introduzem a noção de derivação. Calcule-os utilizando as regras até agora estudadas.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é uma potência em que a base é
e o expoente é . - A variável
tende a .
O que se pede: encontrar o valor numérico desse limite (se existir).
Passo 2
Identificar a forma indeterminada e a técnica a usar.
Quando uma expressão tem a forma
, temos a indeterminação do tipo
. Para tratar limites desse tipo, o truque padrão é:
- Denotar a expressão por
. - Tomar logaritmo natural:
. - Calcular
(geralmente transforma a potência em produto). - Se
existir finito, então .
Aplicando: seja
Vamos calcular
passando por
.
Passo 3
Escrever
e simplificar a expressão que aparece.
Repare que
portanto
Como
, temos
e
, então
é uma forma do tipo
. Para aplicar regras de limite é conveniente reescrever como uma razão.
Passo 4
Transformar produto em quociente para usar l’Hôpital (forma
).
Escrevemos
Quando
o numerador tende a
e o denominador
também tende a
, temos tipo
. Assim podemos aplicar o Teorema de l’Hôpital: derivar numerador e denominador em relação a
e tomar o limite das derivadas.
Passo 5
Calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do denominador:
Derivada do numerador
:
usar cadeia. Primeiro calcule a derivada de :
usar cadeia. Primeiro calcule a derivada de
Agora a derivada de
é
Passo 6
Aplicar l’Hôpital e simplificar a expressão resultante.
Pelo l’Hôpital,
Substituindo as derivadas:
Multiplicando por
e simplificando,
Note que
Substituindo:
Agora avaliar o limite racional para
. Cada fator no denominador tem grau 1, então o comportamento dominante é em
:
portanto
Assim
Passo 7
Voltar do logaritmo para a expressão original e concluir.
Se
, então, pela continuidade da exponencial,
Observação didática rápida: outra maneira alternativa (mais direta) é usar a expansão
para
pequeno e obter o mesmo resultado sem l’Hôpital — dá o mesmo limite
para
.