Os limites abaixo introduzem a noção de derivação. Calcule-os utilizando as regras até agora estudadas.
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{2 x-1}{2 x+1}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{2x-1}{2x+1}\right)^{x}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma potência em que a base é \dfrac{2x-1}{2x+1} e o expoente é x.
  • A variável x tende a -\infty.
O que se pede: encontrar o valor numérico desse limite (se existir).

Passo 2

Identificar a forma indeterminada e a técnica a usar.
Quando uma expressão tem a forma (\text{algo que tende a }1)^{\text{algo que tende a }\pm\infty}, temos a indeterminação do tipo 1^\infty. Para tratar limites desse tipo, o truque padrão é:
  1. Denotar a expressão por y.
  2. Tomar logaritmo natural: \ln y.
  3. Calcular \lim \ln y (geralmente transforma a potência em produto).
  4. Se \lim \ln y = L existir finito, então \lim y = e^{L}.
Aplicando: seja
y(x)=\left(\frac{2x-1}{2x+1}\right)^{x}.
Vamos calcular \lim_{x\to -\infty} y(x) passando por \ln y(x).

Passo 3

Escrever \ln y e simplificar a expressão que aparece.
\ln y(x)=x\cdot \ln\!\left(\frac{2x-1}{2x+1}\right).
Repare que
\frac{2x-1}{2x+1}=1-\frac{2}{2x+1},
portanto
\ln y(x)=x\cdot \ln\!\left(1-\frac{2}{2x+1}\right).
Como x\to -\infty, temos \ln\!\left(1-\dfrac{2}{2x+1}\right)\to 0 e x\to -\infty, então x\cdot \ln(\cdot) é uma forma do tipo (-\infty)\cdot 0. Para aplicar regras de limite é conveniente reescrever como uma razão.

Passo 4

Transformar produto em quociente para usar l’Hôpital (forma 0/0).
Escrevemos
\ln y(x)=\frac{\ln\!\left(1-\dfrac{2}{2x+1}\right)}{1/x}.
Quando x\to -\infty o numerador tende a 0 e o denominador 1/x também tende a 0, temos tipo 0/0. Assim podemos aplicar o Teorema de l’Hôpital: derivar numerador e denominador em relação a x e tomar o limite das derivadas.

Passo 5

Calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^{2}}.
Derivada do numerador N(x)=\ln\!\left(1-\dfrac{2}{2x+1}\right):
usar cadeia. Primeiro calcule a derivada de -\dfrac{2}{2x+1}:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{2}{2x+1}\right) = -2\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2x+1}\right) = -2\cdot\left(-\frac{2}{(2x+1)^{2}}\right) = \frac{4}{(2x+1)^{2}}.
Agora a derivada de N(x) é
N'(x)=\frac{1}{1-\dfrac{2}{2x+1}}\cdot \frac{4}{(2x+1)^{2}}.

Passo 6

Aplicar l’Hôpital e simplificar a expressão resultante.
Pelo l’Hôpital,
\lim_{x\to -\infty}\ln y(x) = \lim_{x\to -\infty}\frac{N'(x)}{(1/x)'}.
Substituindo as derivadas:
\lim_{x\to -\infty}\ln y(x) = \lim_{x\to -\infty} \frac{\dfrac{4}{(2x+1)^{2}}\cdot \dfrac{1}{1-\dfrac{2}{2x+1}}}{-\dfrac{1}{x^{2}}}.
Multiplicando por -x^{2} e simplificando,
\lim_{x\to -\infty}\ln y(x) = \lim_{x\to -\infty} -\frac{4x^{2}}{(2x+1)^{2}\left(1-\dfrac{2}{2x+1}\right)}.
Note que
1-\frac{2}{2x+1}=\frac{2x-1}{2x+1}.
Substituindo:
\lim_{x\to -\infty}\ln y(x) = \lim_{x\to -\infty} -\frac{4x^{2}}{(2x+1)^{2}}\cdot\frac{2x+1}{2x-1} = \lim_{x\to -\infty} -\frac{4x^{2}}{(2x+1)(2x-1)}.
Agora avaliar o limite racional para x\to -\infty. Cada fator no denominador tem grau 1, então o comportamento dominante é em x^{2}:
(2x+1)(2x-1)=4x^{2}-1,
portanto
-\frac{4x^{2}}{(2x+1)(2x-1)} \longrightarrow -\frac{4x^{2}}{4x^{2}} = -1.
Assim
\lim_{x\to -\infty}\ln y(x) = -1.

Passo 7

Voltar do logaritmo para a expressão original e concluir.
Se \lim_{x\to -\infty}\ln y(x) = -1, então, pela continuidade da exponencial,
\lim_{x\to -\infty} y(x) = \lim_{x\to -\infty} e^{\ln y(x)} = e^{-1} = \frac{1}{e}.
Observação didática rápida: outra maneira alternativa (mais direta) é usar a expansão \ln(1+u)\approx u para u pequeno e obter o mesmo resultado sem l’Hôpital — dá o mesmo limite -1 para \ln y.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{e}

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