Calcule:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a união
Informações dadas:
- O parâmetro
varia em (ou seja, em todos os números irracionais). - Para cada
desse conjunto consideramos o conjunto singleton . - A operação é a união de todos esses singletons, ou seja, juntar todos os valores possíveis de
quando é irracional.
O que se pede: determinar explicitamente qual é esse conjunto união.
Passo 2
Interpretemos a união em termos de existência: definimos
Por definição de união indexada, isso significa
Ou seja,
é o conjunto de todos os números reais que podem ser escritos como
com
irracional.
Passo 3
Mostramos primeiro que nenhum número racional pode aparecer em
. Suponha, por absurdo, que exista
e
. Então existe
com
. Mas se
então
também seria racional (recíproco de racional é racional), o que contradiz a hipótese
. Logo, nenhum elemento de
é racional; portanto
.
Passo 4
Agora provamos a inclusão contrária: todo irracional pertence a
. Seja
. Tome
. Como
é irracional, o recíproco
também é irracional (se
fosse racional,
seria racional, contradição). Assim
e satisfaz
. Portanto
. Logo
.
Passo 5
Com as duas inclusões das Passos 3 e 4 obtemos igualdade:
Intuitivamente: a aplicação
faz uma bijeção do conjunto dos irracionais em si mesmo (exceto que
nem precisa ser considerado porque
é racional e não está no domínio).