Calcule:
\bigcup_{x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}}\left\{\frac{1}{x}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a união
\bigcup_{x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}}\left\{\frac{1}{x}\right\}.
Informações dadas:
  • O parâmetro x varia em \mathbb{R}-\mathbb{Q} (ou seja, em todos os números irracionais).
  • Para cada x desse conjunto consideramos o conjunto singleton \left\{\frac{1}{x}\right\}.
  • A operação é a união de todos esses singletons, ou seja, juntar todos os valores possíveis de \frac{1}{x} quando x é irracional.
    O que se pede: determinar explicitamente qual é esse conjunto união.

Passo 2

Interpretemos a união em termos de existência: definimos
U=\bigcup_{x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}}\left\{\frac{1}{x}\right\}.
Por definição de união indexada, isso significa
U=\{y\in\mathbb{R}\mid \exists\,x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\text{ tal que }y=\tfrac{1}{x}\}.
Ou seja, U é o conjunto de todos os números reais que podem ser escritos como \tfrac{1}{x} com x irracional.

Passo 3

Mostramos primeiro que nenhum número racional pode aparecer em U. Suponha, por absurdo, que exista y\in U e y\in\mathbb{Q}. Então existe x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q} com y=\tfrac{1}{x}. Mas se y\in\mathbb{Q} então x=\tfrac{1}{y} também seria racional (recíproco de racional é racional), o que contradiz a hipótese x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}. Logo, nenhum elemento de U é racional; portanto U\subseteq\mathbb{R}-\mathbb{Q}.

Passo 4

Agora provamos a inclusão contrária: todo irracional pertence a U. Seja y\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}. Tome x=\tfrac{1}{y}. Como y é irracional, o recíproco x também é irracional (se x fosse racional, y=1/x seria racional, contradição). Assim x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q} e satisfaz y=\tfrac{1}{x}. Portanto y\in U. Logo \mathbb{R}-\mathbb{Q}\subseteq U.

Passo 5

Com as duas inclusões das Passos 3 e 4 obtemos igualdade:
U=\mathbb{R}-\mathbb{Q}.
Intuitivamente: a aplicação x\mapsto\tfrac{1}{x} faz uma bijeção do conjunto dos irracionais em si mesmo (exceto que 0 nem precisa ser considerado porque 0 é racional e não está no domínio).

Resposta

\mathbb{R}-\mathbb{Q}

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